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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

puisque les quantités $r,x,y,z,r',x',y',z'$ qu’elle renferme étant relatives au mouvement elliptique de $m$ et de $m',$ elles sont données par la nature de ce mouvement en fonctions du temps $t.$

V.

Les équations (A) de l’article I, multipliées respectivement par $x,y,z$ et ajoutées ensemble, donnent

$0={\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r}}+m'\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\,;$

or on a

$xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z={\frac {1}{2}}d^{2}r^{2}-\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)\,;$

et, si l’on nomme $dv$ l’angle infiniment petit intercepté entre les deux rayons vecteurs $r$ et $r+dr,$ on aura

$dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=dr^{2}+r^{2}dv^{2}.$

On aura donc

$xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z=rd^{2}r-r^{2}dv^{2},$

partant

$0={\frac {rd^{2}r-r^{2}dv^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {1+m}{r}}+m'\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).$

Supposons que l’action de $m'$ augmente la valeur de $v$ de la quantité $m'\delta v,$ en sorte que l’on ait $v=v+m'\delta v,$ la quantité $v$ dans le second membre de cette équation étant relative au mouvement elliptique ; si, dans l’équation différentielle en $r,$ on substitue cette valeur de $v,$ et au lieu de $r,\ r+m'\delta r,$ les termes indépendants de $m'$ se détruiront d’eux mêmes par la nature du mouvement elliptique, et la comparaison des termes multipliés par $m'$ donnera

$0={\frac {rd^{2}\delta r+\delta rd^{2}r-2r\delta rdv^{2}-2r^{2}dvd\delta v}{dt^{2}}}-{\frac {\delta r}{r^{2}}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\,;$

or on a, par la théorie du mouvement elliptique,

$r^{2}dv=dt{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}},$