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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

l’ajoute à l’équation différentielle en $\delta r,$ multipliée par $-x,$ on aura

$0={\frac {r\delta rd^{2}x-xd^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}-2x\int \operatorname {d} \mathrm {R} -x\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\,;$

d’où l’on tire, en intégrant,

$0={\frac {r\delta rdx-xd(r\delta r)}{dt}}-2\int xdt\int \operatorname {d} \mathrm {R} -\int xdt\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).$

En changeant $x$ en $y,$ et réciproquement, dans cette intégrale, on aura la suivante :

$0={\frac {r\delta rdy-yd(r\delta r)}{dt}}-2\int ydt\int \operatorname {d} \mathrm {R} -\int ydt\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).$

En ajoutant la première de ces intégrales, multipliée par $y,$ à la seconde, multipliée par $-x,$ on aura

${\begin{aligned}r\delta r{\frac {xdy-ydx}{dt}}=&2x\int ydt\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x\int ydt\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\\-&2y\int xdt\int \operatorname {d} \mathrm {R} -y\int xdt\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\,;\end{aligned}}$

mais on a, dans l’hypothèse elliptique,

${\frac {xdy-ydx}{dt}}={\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}\,;$

et, si l’on nomme $nt$ le moyen mouvement sidéral de $m,$ on a

$n^{2}={\frac {1}{a^{3}}}.$

On aura donc

(5)

${\frac {\delta r}{a}}={\frac {\left\{{\begin{aligned}&\quad 2x\int ndty\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x\int ndty\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\\&-2y\int ndtx\int \operatorname {d} \mathrm {R} -y\int ndtx\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\end{aligned}}\right\}}{r{\sqrt {\cfrac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}}}$

Cette expression de ${\frac {\delta r}{a}}$ ne dépend que des quadratures des courbes.