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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

nètes, les quatre équations suivantes :

(C)

$\left\{{\begin{aligned}f\ \ =&{\frac {m}{a}}+{\frac {m'}{a'}},\\c\ \ =&m\ \ {\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}+m'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\theta '^{2}}}},\\c'\ =&mq{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}+m'q'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\theta '^{2}}}},\\c''=&mp{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}+m'p'{\sqrt {\frac {a'\left(1-e'^{2}\right)}{1+\theta '^{2}}}}.\end{aligned}}\right.$

Ainsi, en supposant que, par l’action mutuelle des deux planètes, les éléments $a,a',e,e',\theta ,\theta ',p,p',q,q'$ subissent des variations très sensibles dans la suite des siècles, ces éléments doivent toujours satisfaire aux quatre équations précédentes, dans lesquelles les constantes $f,c,c',c''$ sont invariables.

Dans le cas où le système renfermerait encore les planètes $m'',m''',\ldots ,$ il est aisé de voir que ces équations subsisteraient toujours en ajoutant à leurs seconds membres des termes semblables à ceux qu’ils renferment et relatifs à chaque nouvelle planète.

IV.

Reprenons les équations (A) de l’article I. Si l’on multiplie la première par $dx,$ la seconde par $dy,$ la troisième par $dz,$ et qu’on les ajoute ; si l’on fait ensuite

$\mathrm {R} ={\frac {xx'+yy'+zz'}{r'^{3}}}-\lambda ,$

on aura

$0={\frac {dx+d^{2}x+dy+d^{2}y+dz+d^{2}z}{dt^{2}}}+(1+m){\frac {dr}{r^{2}}}+m'\operatorname {d} \mathrm {R} ,$

la caractéristique différentielle $\operatorname {d}$ ne se rapportant qu’aux coordonnées $x,y,z$ de la planète $m.$ On aura donc, en intégrant,

$(a)\qquad 0={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {1+m}{a}}+2m'\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$