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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

nent, entre les variations séculaires des éléments de leurs orbites, des rapports intéressants que nous allons déterminer.

Pour cela, nous observerons que les masses $m$ et $m'$ étant fort petites, on peut, à chaque révolution, considérer les orbites de Jupiter et de Saturne comme étant à très peu près elliptiques ; mais l’action mutuelle de ces deux planètes change la nature et la position de leurs ellipses, par des nuances insensibles dans un court intervalle, et que la suite des temps rend très remarquables. Ces ellipses, dans leurs variations, conservent entre elles des rapports constants qui résultent des intégrales précédentes. Soient a le demi grand axe de l’ellipse de $m\,;\ ea$ son excentricité ; $\theta$ la tangente de l’inclinaison du plan de cette ellipse sur le plan des $x$ et des $y\,;\ \mathrm {I}$ l’angle que fait l’intersection de ces deux plans avec l’axe des $x.$ Soient, de plus,

$\theta \sin \mathrm {I} =p,\qquad \theta \cos \mathrm {I} =q\,;$

on aura, par la nature du mouvement elliptique et en négligeant $m$ vis-à-vis de l’unité,

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2}{r}}=-{\frac {1}{a}},$

${\begin{aligned}{\frac {xdy-ydx}{dt}}=&\ \ {\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}},\\{\frac {xdz-zdx}{dt}}=&q{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}},\\{\frac {ydz-zdy}{dt}}=&p{\sqrt {\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+\theta ^{2}}}}.\end{aligned}}$

Si l’on marque d’un trait les lettres $a,e,\theta ,p,q,$ pour avoir celles qui sont relatives à $m',$ ces équations subsisteront encore en accentuant les lettres qu’elles renferment. Cela posé, si l’on substitue les valeurs de leurs premiers membres dans les intégrales (1), (2), (3) et (4) ; si l’on néglige ensuite les quantités constantes ou périodiques de l’ordre $m^{2},$ on aura, entre les éléments des ellipses des deux pla-