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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Cette équation donne, en l’intégrant,

(1)

$\left\{{\begin{aligned}0=&f+{\frac {m\left(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right)}{dt^{2}}}+{\frac {m'\left(dx'^{2}+dy'^{2}+dz'^{2}\right)}{dt^{2}}}\\&-{\frac {(mdx+m'dx')^{2}+(mdy+m'dy')^{2}+(mdz+m'dz')^{2}}{(1+m+m')dt^{2}}}\\&-2\left({\frac {m}{r}}+{\frac {m'}{r'}}\right)-2mm'\lambda ,\end{aligned}}\right.$

$f$ étant une constante arbitraire.

Si l’on multiplie encore la première des équations différentielles de l’article précédent par

$-my+{\frac {m(my+m'y')}{1+m+m'}},$

la seconde par

$mx-{\frac {m(mx+m'x')}{1+m+m'}},$

la quatrième par

$-m'y'+{\frac {m'(my+m'y')}{1+m+m'}},$

et la cinquième par

$m'x'-{\frac {m'(mx+m'x')}{1+m+m'}},$

si l’on ajoute ensuite ces équations, en observant que l’on a

${\begin{aligned}0=&x{\frac {\partial \lambda }{\partial y}}-y{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+x'{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}}-y'{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}},\\0=&{\frac {\partial \lambda }{\partial x}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}},\qquad 0={\frac {\partial \lambda }{\partial y}}+{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}},\end{aligned}}$

on aura

${\begin{aligned}0=&{\frac {m\left(xd^{2}y-yd^{2}x\right)}{dt^{2}}}+{\frac {m'\left(x'd^{2}y'-y'd^{2}x'\right)}{dt^{2}}}\\&-{\frac {mx+m'x'}{1+m+m'}}\ {\frac {md^{2}y+m'd^{2}y'}{dt^{2}}}\\&+{\frac {my+m'y'}{1+m+m'}}\ {\frac {md^{2}x+m'd^{2}x'}{dt^{2}}},\end{aligned}}$