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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Si l’on change successivement, dans cette expression, $x$ et $x'$ dans $y$ et $y',$ et dans $z$ et $z',$ on aura les forces qui sollicitent Jupiter parallèlement aux axes des $y$ et des $z,$ et vers l’origine des coordonnées ; en nommant donc $dt$ l’élément du temps et en le supposant constant, les principes connus de Dynamique donneront les trois équations différentielles suivantes :

(A)

$\left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)x}{r^{3}}}+{\frac {m'x'}{r'^{3}}}-m'{\frac {\partial \lambda }{\partial x}},\\0=&{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)y}{r^{3}}}\ +{\frac {m'y'}{r'^{3}}}-m'{\frac {\partial \lambda }{\partial y}},\\0=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}\ \,+{\frac {m'z'}{r'^{3}}}-m'{\frac {\partial \lambda }{\partial z}}.\end{aligned}}\right.$

La considération du mouvement de Saturne autour du Soleil donnera pareillement les trois équations suivantes :

(B)

$\left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}x'}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m')x'}{r'^{3}}}+{\frac {mx}{r^{3}}}-m{\frac {\partial \lambda }{\partial x'}},\\0=&{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m')y'}{r'^{3}}}\ +{\frac {my}{r^{3}}}-m{\frac {\partial \lambda }{\partial y'}},\\0=&{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m')z'}{r'^{3}}}\ \,+{\frac {mz}{r^{3}}}-m{\frac {\partial \lambda }{\partial z'}}.\end{aligned}}\right.$

C’est de l’intégration de ces six équations différentielles que dépend toute la théorie des mouvements de Jupiter et de Saturne.

II.

On peut facilement en obtenir quatre intégrales premières de la manière suivante.

On multipliera la première de ces équations par

$2mdx-{\frac {2m(mdx+m'dx')}{1+m+m'}},$

la deuxième par

$2mdy-{\frac {2m(mdy+m'dy')}{1+m+m'}},$