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MÉMOIRE SUR LES INÉGALITÉS SÉCULAIRES

On aura pareillement

$e'^{2}=\left(\alpha '^{2}+\mu '^{2}\right)f^{2it}+\ldots +\left(\gamma '^{2}+\Phi '^{2}\right)t^{2r}+\ldots +h'^{2}+l'^{2}.$

et ainsi de suite ; on aura donc ainsi les valeurs des excentricités des orbites.

Ces valeurs ne peuvent servir que pour un temps limité, après lequel, les excentricités devenant fort grandes, la supposition qu’elles sont peu considérables et d’après laquelle elles ont été trouvées cesse d’être exacte ; on ne peut donc étendre à un temps quelconque les résultats obtenus dans cette supposition, qu’au tant que l’on est assuré que les racines de l’équation $(k)$ sont toutes réelles et inégales ; mais il serait très difficile d’y parvenir par la considération directe de cette équation. Voici un moyen fort simple de prouver que ni les exponentielles $f^{it},f^{i't},\ldots ,$ ni l’arc $t$ et ses puissances ne se rencontrent point dans les valeurs de $e\sin \mathrm {V} ,e\cos \mathrm {V} \,;\ e'\sin \mathrm {V} ',e'\cos \mathrm {V} ',$$\ldots .$

XIV.

Reprenons l’équation (9) de l’article IV ; si l’on suppose $e$ et $\theta$ très petits et que l’on néglige les quantités des ordres $e^{4},e^{2}\theta ^{2}$ et $\theta ^{4},$ elle donnera

$c=m{\sqrt {a}}+m'{\sqrt {a'}}+\ldots -{\frac {1}{2}}m\left(e^{2}+\theta ^{2}\right){\sqrt {a}}-{\frac {1}{2}}m'\left(e'^{2}+\theta '^{2}\right)-\ldots \,;$

mais les moyennes distances des planètes au Soleil ne sont point troublées par leur action mutuelle ; on aura donc

$m\left(e^{2}+\theta ^{2}\right){\sqrt {a}}+m'\left(e'^{2}+\theta '^{2}\right){\sqrt {a'}}+\ldots =\mathrm {const} .$

Nous avons observé, dans l’article précédent, que les valeurs de $e,e',e'',\ldots$ sont données par des équations indépendantes de celles qui donnent les valeurs de $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots ,$ en sorte qu’elles sont les mêmes que si $\theta ,\theta ',\theta '',\ldots$ étaient nuls ; mais l’équation précédente devient, dans cette hypothèse,

$\mathrm {const} .=me^{2}{\sqrt {a}}+m'e'^{2}{\sqrt {a'}}+\ldots .$