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DES PLANÈTES ET DES SATELLITES.

au nombre des planètes, nous représenterons cette équation par $(k).$ La même chose a lieu relativement aux équations du second système ; mais l’équation dont dépend la formation des angles n’est pas la même que pour le premier système ; nous la représenterons par $(k').$ On peut consulter, sur cet objet, les Mémoires de cette Académie pour l’année 1772, deuxième Partie, page 361^[1], et les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1782, pages 243 et 262.

Si toutes les racines des équations $(k)$ et $(k')$ sont réelles et inégales, les valeurs des quantités précédentes ne renfermeront ni arcs de cercle ni exponentielles, et par conséquent elles resteront toujours fort petites ; il n’en sera pas de même si quelques-unes de ces racines sont égales ou imaginaires, car on sait qu’alors les sinus et les cosinus se changent en arcs de cercle ou en exponentielles ; mais, quelle que soit la nature des racines de ces équations, les valeurs de $e\sin \mathrm {V} ,e\cos \mathrm {V} ,e'\sin \mathrm {V} ',e'\cos \mathrm {V} ',\ldots$ seront toujours comprises dans les formes suivantes :

${\begin{alignedat}{2}e\ \sin \mathrm {V} \ =&\alpha \ f^{it}+{\text{ϐ}}\ f^{i't}+\ldots +&\gamma \ t^{r}+&\lambda \ t^{r-1}+\ldots +h,\\e\ \cos \mathrm {V} \ =&\mu \ f^{it}+\varepsilon \ \,f^{i't}+\ldots +&\Phi \ t^{r}+&\psi \ t^{r-1}+\ldots +l,\\e'\sin \mathrm {V} '=&\alpha 'f^{it}+{\text{ϐ}}'f^{i't}+\ldots +&\gamma 't^{r}+&\lambda 't^{r-1}+\ldots +h',\\e'\cos \mathrm {V} '=&\mu 'f^{it}+\varepsilon '\,f^{i't}+\ldots +&\Phi 't^{r}+&\psi 't^{r-1}+\ldots +l',\end{alignedat}}$

$f$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. Les coefficients $\alpha ,{\text{ϐ}},\mu ,\varepsilon ,\ldots ,\alpha ',{\text{ϐ}}',\mu ',\varepsilon ',\ldots$ des exponentielles sont des quantités réelles sans exponentielles, mais qui peuvent être fonctions de l’arc $t$ et de sinus et de cosinus d’angles proportionnels à cet arc ; les quantités $\gamma ,\lambda ,\Phi ,\psi ,\ldots ,$$h,l,\gamma ',\lambda ',\Phi ',\psi ',\ldots ,h',l',\ldots$ sont réelles, sans arcs de cercle ni exponentielles, et par conséquent constantes ou périodiques.

Supposons que, abstraction faite du signe, on ait $i>i',\ i'>i'',\ldots ,\ e$ étant égal à $(e\sin \mathrm {V} )^{2}+(e\cos \mathrm {V} )^{2}\,;$ on aura

$e^{2}=\left(\alpha ^{2}+\mu ^{2}\right)f^{2it}+\ldots +\left(\gamma ^{2}+\Phi ^{2}\right)t^{2r}+\ldots +h^{2}+l^{2}.$

1. Œuvres de Laplace, t. VIII, p. 406.