tielles, supposons que l’on ait l’équation
![{\displaystyle 0=t\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{2}-t_{1}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053b1032ad3c5fb21e855f3b3cf97f118b94fa6d)
on aura
![{\displaystyle {\frac {1}{t}}={\frac {1}{2}}t_{1}+{\frac {1}{2t_{1}}}\pm {\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/349671bc629ea3e6579c808bdcf48fd914fa6a0a)
Soit
![{\displaystyle {\frac {1}{t^{x}}}=\mathrm {Z} +{\frac {1}{t}}\mathrm {Z} ^{(1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f96e149d1204b97bf0aa6f5865319429ab248f0)
et
étant des fonctions de
et de
on déterminera ces fonctions en substituant successivement dans l’équation précédente, au lieu de
ses deux valeurs ; ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {1}{2}}t_{1}+{\frac {1}{2t_{1}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right)\right]^{x}=\mathrm {Z} +\mathrm {Z} ^{(1)}\left[{\frac {1}{2t_{1}}}+{\frac {1}{2}}t_{1}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right)\right],\\\left[{\frac {1}{2}}t_{1}+{\frac {1}{2t_{1}}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right)\right]^{x}=\mathrm {Z} +\mathrm {Z} ^{(1)}\left[{\frac {1}{2t_{1}}}+{\frac {1}{2}}t_{1}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{t_{1}}}-t_{1}\right)\right],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732f21427b5f1253563dbda2d72cae8af5b1fbca)
d’où il est aisé de conclure
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Z} \quad =&{\frac {{\cfrac {1}{t_{1}^{x-2}}}-t_{1}^{x}}{t_{1}^{2}-1}},\\\mathrm {Z} ^{(1)}=&{\frac {{\cfrac {1}{t_{1}^{x}}}-t_{1}^{x}}{{\cfrac {1}{t_{1}}}-t_{1}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a17dc72c2fcaa79b6feafe5700609cc63c22618)
partant
![{\displaystyle {\frac {u}{t^{x}}}=u{\frac {{\cfrac {1}{t_{1}^{x-2}}}-t_{1}^{x}}{t_{1}^{2}-1}}+{\frac {u}{t}}{\frac {{\cfrac {1}{t_{1}^{x}}}-t_{1}^{x}}{{\cfrac {1}{t_{1}}}-t_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53d6470223098c55fdea9c6c70bad3cd9cc21e46)
Présentement, le coefficient de
dans
est
et, si l’on désigne par
et
les coefficients de
dans le développement des fonctions
et
étant égal à la suite infinie ![{\displaystyle \lambda _{0}+\lambda _{1}t+\lambda _{2}t^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/037ff84b3b00c7d1147d99e17046a15b655e750b)