différence prise par rapport à
est
étant ce que devient
lorsqu’on y suppose
Si,
et
étant toujours supposés constants, on a
on aura
et l’expression de
deviendra
![{\displaystyle u=e^{-ms_{1}-ns}\left[\int dz\varphi (z)+\int dz\psi (z)\right]=e^{-ms_{1}-ns}\left[\varphi _{1}(s)+\psi _{1}(s_{1})\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e3ca02807d16b55c77325ecc4901fd093dfeb1)
en sorte que la valeur de
est alors indépendante de toute intégrale définie. Mais ce cas est le seul où cela puisse avoir lieu, et c’est ce qui résulte pareillement de ce qui a été démontré dans les Mémoires de l’Académie, année 1773, page 369 [1].
L’équation des cordes vibrantes dans un milieu résistant comme la vitesse est
![{\displaystyle a^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+b{\frac {\partial u}{\partial t}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b576bb9a9233dcb003644a8c8f4d4f20d0519bda)
étant l’ordonnée de la corde vibrante dont l’abscisse est
représentant le temps, et
et
étant deux constantes dépendantes, l’une de la grosseur et de la tension de la corde, et l’autre de l’intensité de la résistance. Si l’on fait
et
l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle 0={\frac {\partial ^{2}u}{\partial s\partial s_{1}}}+{\frac {b}{4a}}{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\frac {b}{4a}}{\frac {\partial u}{\partial s_{1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ceac86eab02dd931567583e8b5faec2f58d391)
l’expression précédente de
deviendra donc, en y substituant au lieu de
et de
leurs valeurs
et ![{\displaystyle at-x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7bbc621822619dab8974712e9e142d65b8b7ec)
![{\displaystyle u=e^{\frac {bt}{2}}\left\{{\begin{aligned}&\int dz{\text{⅃}}\left[(at-x)(at+x-z)\right]\varphi (z)\\+&\int dz{\text{⅃}}\left[(at+x)(at-x-z)\right]\psi (z)\end{aligned}}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f172ae2e5b8f5777afeed5130ae2645d66fc27b)
la première intégrale étant prise depuis
jusqu’à
et la seconde intégrale étant prise depuis
jusqu’à
On voit par là que le problème des cordes vibrantes dépend alors de l’intégration de l’équation différentielle
![{\displaystyle 0=-{\frac {b^{2}}{16a^{2}}}y+{\frac {\partial y}{\partial \theta }}+\theta {\frac {\partial ^{2}y}{\partial \theta ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb266710637c78033ba7e61075e82daa5968d4b)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IX, p. 35.