coefficients ; d’où il suit que le coefficient de
ou
dans l’expression de
sera
![{\displaystyle ds\left[\mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}(s-z)+{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{1.2}}(s-z)^{2}+{\frac {\mathrm {A} ^{(3)}}{1.2.3}}(s-z)^{3}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e1ca380dfd6b3270f80fd5db1a7bbd8f9ae71d)
![{\displaystyle \left.+{\frac {\mathrm {A} ^{(4)}}{1.2.3.4}}(s-z)^{4}+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05f43dc15a450f271157b02a71a403092a933e6b)
donc, si l’on nomme
la somme de la suite
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}(s-z)+{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{1.2}}(s-z)^{2}+{\frac {\mathrm {A} ^{(3)}}{1.2.3}}(s-z)^{3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de22cc577031711bc5f5c41047cdf666aa7a88d)
et que l’on suppose
on aura
égal à la suite
![{\displaystyle \mathrm {A} \varphi _{1}(s)+\mathrm {A} ^{(1)}\varphi _{2}(s)+\mathrm {A} ^{(2)}\varphi _{3}(s)+\mathrm {A} ^{(3)}\varphi _{4}(s)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a03579e201641da4b99dd3e338eca4634f5c950)
pourvu que l’intégrale soit prise depuis
jusqu’à ![{\displaystyle z=s.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adabe55fa2e2f776ce9528d8751ccdc3a9678518)
Si l’on nomme pareillement
la somme de la suite
![{\displaystyle \mathrm {B} +\mathrm {B} ^{(1)}(s_{1}-z)+{\frac {\mathrm {B} ^{(2)}}{1.2}}(s_{1}-z)^{2}+{\frac {\mathrm {B} ^{(3)}}{1.2.3}}(s_{1}-z)^{3}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c8c2495fe2250eed338100c1eb0bf357b7a9e7)
on trouvera, par le même procédé, que
est égal à la suite
![{\displaystyle \mathrm {B} \psi _{1}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(1)}\psi _{2}(s_{1})+\mathrm {B} ^{(2)}\psi _{3}(s_{1})+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82be91240dd54bb4be9918daa349b5f177a271c0)
pourvu que l’intégrale soit prise depuis
jusqu’à
on aura donc
![{\displaystyle u=\int dz\Gamma (s-z)\varphi (z)+\int dz\Pi (s_{1}-z)\psi (z),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0da79a3f6652ee3c9e9b47cab75341d598f232)
l’intégrale du premier terme étant prise depuis
jusqu’à
et celle du second terme étant prise depuis
jusqu’à
On peut observer ici que les fonctions
et
sont autant de valeurs particulières qui satisfont pour
à l’équation proposée aux différences partielles. En effet, il est clair, par la nature des valeurs de
que, si l’on substitue dans cette équation, au lieu de
la suite
![{\displaystyle \mathrm {A} +\mathrm {A} ^{(1)}(s-z)+{\frac {\mathrm {A} ^{(2)}}{1.2}}(s-z)^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0869c254e1f6e52dff4c914c6dd9ddf75c0cbfcc)
étant regardé comme constant, elle sera satisfaite. Mais, parmi toutes