le coefficient de
étant égal à
![{\displaystyle {\frac {i(i-1)(i-2)\ldots (i-r+1)}{1.2.3\ldots r}}{\frac {i_{1}(i_{1}-1)(i_{1}-2)\ldots (i_{1}-r_{1}+1)}{1.2.3\ldots r_{1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8d3cfa12f058255f55304ac0eacad431b53145c)
Maintenant, le coefficient de
dans le développement de
est
on aura donc, en passant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{x+i,x_{1}+i_{1}}=y_{x,x_{1}}+i\Delta y_{x,x_{1}}\ \ \ &+{\frac {i(i-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x,x_{1}}+\ldots \\+i_{1}\Delta _{1}y_{x,x_{1}}&+i_{1}i\Delta _{1}\Delta y_{x,x_{1}}+\ldots \\&+{\frac {i_{1}(i_{1}-1)}{1.2}}\Delta _{1}^{2}y_{x,x_{1}}+\ldots \\&\quad \qquad \qquad \qquad \qquad +\ldots \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915cb4961d62dcff1991b7f4ae9361cd41b79730)
équation qui peut être mise sous cette forme très simple
![{\displaystyle y_{x+i,x_{1}+i_{1}}=\left(1+\Delta y_{x,x_{1}}\right)^{i}\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{i_{1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eacf0b42b87fd3f64001271d3c19a09b1dfc943)
pourvu que, dans le développement du second membre de cette dernière équation, on applique aux caractéristiques
et
les exposants des puissances de
et de
et, par conséquent, qu’au lieu du terme tout constant ou multiplié par
on écrive ![{\displaystyle y_{x,x_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2714d7ff032bd768feede1f02ddcbf2ff0f605b)
XV.
Supposons maintenant que, au lieu d’interpoler suivant les différences de la fonction
on veuille interpoler suivant d’autres lois ; pour cela, soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}z=\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{t}}\ +{\frac {\mathrm {C} }{t^{2}}}\ \,&+\ {\frac {\mathrm {D} }{t^{3}}}\ \ +\ldots +{\frac {p}{t^{n-1}}}+{\frac {q}{t^{n}}}\\+{\frac {\mathrm {B} _{1}}{t_{1}}}+{\frac {\mathrm {C} _{1}}{t_{1}t}}&+{\frac {\mathrm {D} _{1}}{t_{1}t^{2}}}+\ldots \\+{\frac {\mathrm {C} _{2}}{t_{1}^{2}}}\,&+\ {\frac {\mathrm {D} _{2}}{t_{1}^{2}t}}\ +\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \\&\ \,\quad \qquad +{\frac {1}{t_{1}^{n_{1}}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f9b4023452516fedcff0175d87c21c2755b296f)