tités
au lieu d’être multipliées par
sont multipliées par des fonctions quelconques de
et l’on aura par ce moyen une infinité d’expressions différentes de
Si l’on suppose
![{\displaystyle s={\frac {1}{t^{i}}},\qquad z=a+{\frac {b}{t}}+{\frac {c}{t^{2}}}+\ldots +{\frac {q}{t^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/225bd5ff18d10ce28f9a8c6bf6bacd46e5ac697a)
se changera dans
on aura donc, par ce procédé, la valeur de
en fonction de
mais la méthode que nous avons donnée pour cet objet dans l’article V est d’un usage beaucoup plus facile.
XIII.
Des suites à deux variables.
Considérons une fonction
de deux variables
et
et nommons
la suite infinie
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0,0}+y_{1,0}t\ +y_{2,0}t^{2}\ \ +y_{3,0}t^{3}\ \ \,+\ldots +y_{x,0}t^{x}\,\ \ \qquad &+y_{x+1,0}t^{x+1}\\&+\ldots +y_{\infty ,0}t^{\infty }\\+y_{0,1}t_{1}+y_{1,1}t_{1}t+y_{2,1}t_{1}t^{2}+\ldots +y_{x-1,1}t_{1}t^{x-1}&+y_{x,1}t_{1}t^{x}\\&+\ldots +y_{\infty ,1}t_{1}t^{\infty }\\+y_{0,2}t_{1}^{2}\ \,+y_{1,2}t_{1}^{2}t\ \ +\ldots +y_{x-2,2}t_{1}^{2}t^{x-2}&+\ldots \ldots \ldots \\&+\ldots +y_{\infty ,2}t_{1}^{2}t^{\infty }\\+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b41432ef19b8c1208292c065d5744810ef22d8ed)
le coefficient de
sera
ainsi
sera la fonction génératrice de
et, si l’on désigne par la caractéristique
les différences finies lorsque
seul varie et par la caractéristique
ces différences lorsque
seul varie, la fonction génératrice de
sera, par l’article II,
et celle de
sera
partant la fonction génératrice de
sera
d’où il est facile de conclure que celle de
sera ![{\displaystyle u\left({\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left({\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{i_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b099dfab1277593abfe7545d6ff669d2237ea965)
En général, si l’on désigne par
la quantité
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} y_{x,x_{1}}+\mathrm {B} \,\ y_{x+1,x_{1}}+\mathrm {C} \,\ y_{x+2,x_{1}}\quad &+\ldots \\+\,\mathrm {B} _{1}y_{x,x_{1}+1}+\mathrm {C} _{1}y_{x+1,x_{1}+1}&+\ldots \\+\,\mathrm {C} _{2}y_{x,x_{1}+2}\quad &+\ldots \\&+\ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d79c9cb7f477094c5690766a49ed3127b5611d)