Troisième Section.
Des attractions des sphéroïdes très peu différents de la sphère.
XIII.
Les résultats que nous venons de présenter sur les attractions des sphéroïdes quelconques se simplifient relativement aux sphéroïdes très peu différents de la sphère, et donnent une théorie complète de leurs attractions, en les supposant même hétérogènes.
Considérons d’abord le cas où le point attiré est extérieur au sphéroïde, et reprenons la formule de l’article VIII
![{\displaystyle \mathrm {V} =\int {\frac {\mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\sqrt {r^{2}-2r\mathrm {R} \left[\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varpi -\varpi ')\right]+\mathrm {R} ^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffa6a7e6d42e21be14cc7420899083ad3b6fa4d7)
Supposons que le rayon
mené du centre du sphéroïde à sa surface, soit très peu différent de la constante
en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {R} '=a(1+\alpha y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9504cf4fc3ab2e553f7f45225060e3a7f863163)
étant un très petit coefficient dont nous négligerons le carré et les puissances supérieures, et
étant une fonction quelconque de
ou de
et de l’angle ![{\displaystyle \varpi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708f6611303e54eefbedd289cd48ca2ed16af127)
Cela posé, si l’on conçoit une sphère dont le centre soit celui du sphéroïde et dont le rayon soit
et
étant supposés constants dans
il est clair que la valeur de
relative au sphéroïde sera égale à sa valeur relativement à cette sphère, plus à la valeur de
relative à l’excès du sphéroïde sur la sphère. La première de ces deux valeurs étant, par l’article VI, égale à la masse de la sphère divisée par
sera
Quant à la seconde, on la déterminera en faisant, dans l’expression intégrale de
![{\displaystyle \mathrm {R} =a\qquad {\text{et}}\qquad d\mathrm {R} =\alpha a(y'-y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1df7d0159cf37f456cfd6642fbdf2c47311032)
étant ce que devient
lorsqu’on y change
et
en
et
on aura