XII.
Cette valeur est relative aux points extérieurs ; mais, si le point attiré est placé dans l’intérieur du sphéroïde, il faut alors développer l’expression de
de l’article VIII dans une suite ascendante par rapport à
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {V} =v^{(0)}+v^{(1)}r+v^{(2)}r^{2}+v^{(3)}r^{3}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b19b63f46b303862e869268158b1f3f64070a96)
Pour déterminer
on observera que l’expression de
réduite dans une suite ascendante par rapport à
devient
![{\displaystyle \mathrm {T} ={\frac {\mathrm {Q} ^{(0)}}{\mathrm {R} }}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(1)}r}{\mathrm {R} ^{2}}}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(2)}r^{2}}{\mathrm {R} ^{3}}}+{\frac {\mathrm {Q} ^{(3)}r^{3}}{\mathrm {R} ^{4}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a08be1643b9f5568f80a297628da12ff9d35b3b)
les quantités
étant les mêmes que ci-dessus ; on aura donc, par l’article VIII,
![{\displaystyle v^{(i)}=\int {\frac {\mathrm {Q} ^{(i)}d\mathrm {R} d\varpi 'd\theta '\sin \theta '}{\mathrm {R} ^{i-1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64702f29ac32d83955dec124ddb744913aafb254)
mais, comme l’expression précédente de
en série n’est convergente qu’autant que
est plus grand que
nous ne considérerons la valeur de
que relativement à une couche dont la surface intérieure est sphérique et d’un rayon quelconque
plus grand que
et dont le rayon de la surface extérieure est
ce qui revient à prendre l’intégrale relative à
depuis
jusqu’à
Nous aurons ainsi la valeur de
relative à cette couche, et, pour avoir celle qui est relative au sphéroïde entier, il suffit de lui ajouter la valeur de
relative à une sphère de rayon
valeur que l’on trouvera facilement être égale à ![{\displaystyle 2\pi a^{2}-{\frac {2}{3}}\pi r^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5be023bde5d5dff0804b37dae6d0a8ebb745def)
Si le sphéroïde est de révolution, il est aisé de voir, par l’analyse de l’article X, que l’on aura la valeur de
relative à la couche dont nous venons de parler, en déterminant cette valeur lorsque le point attiré est situé dans l’axe de révolution, en la réduisant dans une série ascendante par rapport aux puissances de
et en multipliant ses termes respectivement par