coefficient est égal à
donc le coefficient de
dans le développement de
sera
![{\displaystyle \mathrm {X} _{x+i-ns}\mathrm {Z} _{0}^{(s-1)}+\mathrm {X} _{x+i-ns-1}\mathrm {Z} _{1}^{(s-1)}+\ldots +\mathrm {X} _{0}\mathrm {Z} _{x+i-ns}^{(s-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd81e78d539c7a16106ec5ad68ed9a98ba698856)
![{\displaystyle {\text{ou}}\quad \sum \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{x+i-ns-r}^{(s+1)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139e124bd766826043b4bbbd0d7e4ef23f95afaf)
l’intégrale étant prise relativement à
et depuis
jusqu’à
cette intégrale sera l’expression de ![{\displaystyle y''_{x+i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae6a95094091e420f2698379e0aa482ac055ffaa)
Dans le cas présent, il est facile de la réduire à des intégrales relatives à
car il résulte de l’expression que nous avons donnée de
dans l’article précédent, que celle de
est réductible à des termes de cette forme
en sorte que le terme correspondant de
sera
étant fonction de
or, si l’on désigne par la caractéristique
l’intégrale relative à
on aura
![{\displaystyle \mathrm {K} \sum {\text{ϐ}}^{r}r^{\mu }\mathrm {X} _{r}=\mathrm {K} \sum '{\text{ϐ}}^{x+i-ns}(x+i-ns)^{\mu }\mathrm {X} _{x+i-ns},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5955787c71e38abe414a5ea74676ab51d051a1fe)
pourvu que l’on termine l’intégrale relative à
lorsque
égale
on réduira ainsi l’intégrale
à des intégrales uniquement relatives à la variable
Cela posé, si dans la formule (B) on fait
et
elle donnera
![{\displaystyle y'_{i}+\sum \mathrm {X} _{r}\mathrm {Z} _{i-ns-r}^{(s-1)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7eb556c41788df33a043e5868d69ff5ee04c910)
![{\displaystyle =\left\{{\begin{aligned}&\ \qquad \quad y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\,\ +c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}\ \,+\ldots +q\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\right)\\&+\ \quad \nabla y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n}^{(1)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\nabla ^{s-1}y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}+c\mathrm {Z} _{i-sn+2}^{(s-1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-sn+n}^{(s-1)}\right)\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f630fe50f01fd23cc07c45506960eac3076e595e)
![{\displaystyle +\left\{{\begin{aligned}&+\ \qquad y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\,\ +\ldots \ldots \ldots \ldots \ \ +q\mathrm {Z} _{i-1}^{(0)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\nabla ^{s-1}y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}\,+\ldots \ldots \ldots \ldots \ \ +q\mathrm {Z} _{i-sn-1}^{(s-1)}\right)\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/822db3d8f1c31f02b4c720307bb48c3d425789c8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}y_{n-1}+q\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\nabla y_{n-1}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-sn+1}^{(s-1)}\nabla ^{s-1}y_{n-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8b6318e7c9e7b31b746115f6bfba23b01493ea0)
étant les
arbitraires de l’intégrale de l’équation
![{\displaystyle \nabla ^{s}y_{i}=0\qquad {\text{ou}}\qquad \nabla ^{s}y'_{i}+\nabla ^{s}y''_{i}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57759f3c978cc50e81a8ea93e946d4a73133b0a)
or,
étant égal à
cette équation devient
![{\displaystyle 0=\nabla ^{s}y'_{i}+\mathrm {X} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb0be7511624eac15b6a26129c72125562c04168)