constantes arbitraires que l’intégration de l’équation
introduit.
Si l’on a
la formule générale (B) donnera, en y supposant encore
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}=&\qquad y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\,\ +c\mathrm {Z} _{i-n+2}^{(0)}\ \,+\ldots +q\mathrm {Z} _{i}^{(0)}\right)\\&+\nabla y_{0}\left(b\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+c\mathrm {Z} _{i-2n+2}^{(1)}+\ldots +q\mathrm {Z} _{i-n}^{(1)}\right)\\&+\quad y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}\ +\ldots \ldots \ldots \ldots \ \ \ +q\mathrm {Z} _{i-1}^{(0)}\right)\\&+\nabla y_{1}\left(c\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ \ \ +q\mathrm {Z} _{i-n-1}^{(1)}\right)\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+q\mathrm {Z} _{i-n+1}^{(0)}y_{n-1}+q\mathrm {Z} _{i-2n+1}^{(1)}\nabla y_{n-1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9dae4126cce4205284ad9959f69329c4def913)
étant les
constantes arbitraires qu’introduit l’intégration de l’équation
On aurait de la même manière la valeur de
dans le cas de
et l’on voit ainsi l’analogie qui existe entre l’interpolation des suites et l’intégration des équations linéaires aux différences finies.
VI.
Soit
et supposons que
soit la fonction génératrice de
et
celle de
on aura
![{\displaystyle u=u'+u''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91869da6b6bf3f3fb4a30ee0ab47ff59fac9bf10)
Soit encore
ou
si l’on désigne par
le coefficient de
dans le développement de
on aura, par l’article II,
![{\displaystyle \mathrm {X} _{x+i}=\nabla ^{s}y''_{x+i}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5bad5ff71b8bdd12082025b06227ce41609c123)
présentement, on a
![{\displaystyle {\frac {1}{z^{s}}}={\frac {t^{ns}}{\left(at^{n}+bt^{n-1}+ct^{n-2}+\ldots +q\right)^{s}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8413c2ffb27a3c19230016a4c8d01b52d6bbb407)
Or le coefficient de
dans le développement du second membre de cette équation, est égal à celui de
dans le développement de
et par l’article précédent, ce dernier