cela posé, il est facile de s’assurer par la différentiation que si, pour abréger, on fait
on aura entre les quatre quantités
et
l’équation suivante aux différences partielles :
![{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\\&\times \left[\mathrm {V} -{\frac {1}{2}}\left(a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}+b{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}+c{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}\right)-\mathrm {F} +{\frac {1}{2}}\left(a{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial a}}+b{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial b}}+c{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial c}}\right)\right]\\&+{\frac {1}{2}}k^{3}{\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial k}}-k^{2}\\&\times \left[\mathrm {F} -{\frac {1}{2}}\left(a{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial a}}+b{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}+c{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}\right)\right]+k^{2}{\frac {m-1}{m}}b\left({\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial b}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial b}}-\mathrm {B} \right)\\&+k^{2}{\frac {n-1}{n}}c\left({\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial c}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial c}}-\mathrm {C} \right)-k^{2}(m-1){\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial m}}-k^{2}(n-1){\frac {\partial \mathrm {F} }{\partial n}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c305ae5edffba8d092d3dd0ca3b7cc17068f4dc)
On peut éliminer de cette équation les quantités
et
en y substituant leurs valeurs
et
on aura ainsi une équation aux différences partielles en
seul. Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {\mathrm {V} } ={\frac {4\pi k^{3}}{3{\sqrt {mn}}}}\upsilon =\mathrm {M} \upsilon ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00adf9aa25bfb1b1ec8de01e81cfbe43c431925b)
étant, par l’article I, la masse du sphéroïde elliptique, et, au lieu des variables
et
introduisons celles-ci
et
qui sont telles que
![{\displaystyle \theta =k^{2}{\frac {1-m}{m}},\qquad \varpi =k^{2}{\frac {1-n}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed5c32dc906efdd7995d8ed1c05b52bdb472924)
nous aurons
![{\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial k}}={\frac {2\theta }{k}},\quad {\frac {\partial \varpi }{\partial k}}={\frac {2\varpi }{k}},\quad {\frac {\partial \theta }{\partial m}}=-{\frac {k^{2}}{m^{2}}},\quad {\frac {\partial \varpi }{\partial n}}=-{\frac {k^{2}}{n^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c828c788f0c7df4e092c145ca8f0556e9fd5d9)
ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}k{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial k}}=&\quad \mathrm {M} \left(2\theta {\frac {\partial \upsilon }{\partial \theta }}+2\varpi {\frac {\partial \upsilon }{\partial \varpi }}+3\upsilon +k{\frac {\partial \upsilon }{\partial k}}\right),\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial m}}=&-\mathrm {M} \left({\frac {k^{2}}{m^{2}}}{\frac {\partial \upsilon }{\partial \theta }}+{\frac {\upsilon }{2m}}\right),\\{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial n}}=&-\mathrm {M} \left({\frac {k^{2}}{n^{2}}}{\frac {\partial \upsilon }{\partial \varpi }}+{\frac {\upsilon }{2n}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433943c355427e2075c3bd99d1f043ff004e97f7)
Cela posé, l’équation précédente deviendra, en y substituant ![{\displaystyle {\frac {k^{2}}{k^{2}+\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee22d6c84df45c178ff25479d4aa8d84a15ef767)