mules du no XXXVI. Si l’on désigne par
la possibilité des naissances des garçons et que l’on nomme
la quantité
la probabilité que sur
naissances il y aura
garçons et
filles sera
c’est la quantité que nous avons nommée
dans le numéro cité ; la quantité que nous avons nommée
deviendra ainsi
et la fonction
![{\displaystyle \mathrm {UJ} \left(1+{\frac {d\mathrm {U} }{d\theta }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22dfbe7d6539a3c87dab117a2bb3bb48af172ef6)
deviendra
![{\displaystyle {\frac {{\text{ϐ}}\theta ^{p+1}(1-\theta )^{q+1}}{(p+q)\theta -p}}\left\{1-{\frac {(p+q)\theta ^{2}+p(1-2\theta )}{\left[(p+q)\theta -p\right]^{2}+\ldots }}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f00e014a9fcfcd68ab4080b39d33d31679cb5ff1)
Maintenant, la quantité que nous avons nommée
dans le n^XXXVI est, par le no VI, égale à
et
étant ce que deviennent
et
lorsque
d’ailleurs,
étant la valeur de
qui répond au maximum de
il est déterminé par l’équation
d’où l’on tire
et par conséquent
![{\displaystyle \mathrm {Y} ={\frac {{\text{ϐ}}p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}},\qquad -{\frac {d^{2}\mathrm {Y} }{\mathrm {Y} dx^{2}}}={\frac {(p+q)^{3}}{pq}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c593d0de00071f1a26c3c74785d15ba1530d50)
La fonction
![{\displaystyle \mathrm {Y} {\sqrt {\pi }}\left(\scriptstyle {\mathrm {U} }+{\cfrac {1}{2}}{\cfrac {d^{2}\scriptstyle {\mathrm {U} }^{3}}{1.2dx^{2}}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fcbaef1b4fe47f22aeb1b7a0bb28cbb8a9d011d)
deviendra donc, en observant qu’elle se réduit à très peu près à son premier terme, lorsque
et
sont de grands nombres,
![{\displaystyle {\frac {{\text{ϐ}}p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}{\sqrt {2\pi }}}{(p+q)^{p+q+{\frac {1}{2}}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44467b1dfc228e961916d1181684f71550a05aac)
la formule
du numéro cité donnera ainsi pour la probabilité que
ne surpasse pas ![{\displaystyle \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e5ab2664b422d53eb0c7df3b87e1360d75ad9af)
![{\displaystyle {\frac {\theta ^{p+1}(1-\theta )^{q+1}(p+q)^{p+q+{\frac {3}{2}}}}{{\sqrt {2\pi }}\left[p-(p+q)\theta \right]p^{p+{\frac {1}{2}}}q^{q+{\frac {1}{2}}}}}\left\{1-{\frac {(p+q)\theta ^{2}+p(1-2\theta )}{\left[p-(p+q)\theta \right]^{2}+\ldots }}\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/416ca87cd623c5e89145b43c1a71e5f128914eb8)