élevé à la puissance
et faisons
on peut toujours, comme l’on sait, décomposer la fraction
en deux autres
et
étant des fonctions rationnelles et entières de
la première de l’ordre
et la seconde d’un ordre inférieur à celui de
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{(\theta -\alpha )^{s}}}+\mathrm {\frac {B}{R}} ={\frac {\mathrm {P} }{(\theta -\alpha )^{s}\mathrm {R} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b56d19e386c971617d1d3b5bd1d7b80373d8c4)
ce qui donne
![{\displaystyle \mathrm {A={\frac {P}{R}}} -{\frac {\mathrm {B} (\theta -\alpha )^{s}}{\mathrm {R} }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e55dcfab16c2c63d83b144467a5200393f8c65)
Si l’on considère
et
comme des fonctions rationnelles et entières de
sera une fonction de l’ordre
et, par conséquent, il sera égal au développement de
dans une suite ordonnée par rapport aux puissances de
pourvu que l’on s’arrête à la puissance
Soit donc
![{\displaystyle \mathrm {\frac {P}{R}} =y+y_{1}(\theta -\alpha )+y_{2}(\theta -\alpha )^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e907d7bd46483a315a9bd767f06c405ec3ad57e3)
on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} }{(\theta -\alpha )^{s}}}={\frac {y}{(\theta -\alpha )^{s}}}+{\frac {y_{1}}{(\theta -\alpha )^{s-1}}}+{\frac {y_{2}}{(\theta -\alpha )^{n-2}}}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e575b49905c3446f4346e65140d906d91d4031a)
en rejetant les puissances positives ou nulles de
sera par conséquent égal au coefficient de
dans le développement de
![{\displaystyle {\frac {y+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots }{\theta -\alpha -t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92f626ee33708f55bb13d244a5864580c1ee31de)
Or, si l’on nomme
et
ce que deviennent
et
lorsqu’on y change
en
ou, ce qui revient au même,
en
on aura
![{\displaystyle \mathrm {\frac {P'}{R'}} =y+y_{1}t+y_{2}t^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3398b1534d11b5b24c803cddf68e9803995a29b)
partant,
sera égal au coefficient de
dans le développement