partant, on aura
![{\displaystyle (\mu '')\left\{{\begin{aligned}&\Delta ^{n}s^{i}=(i-n+1)(i-n+2)\ldots i\left(s+{\frac {n}{2}}\right)^{i-n}\\&\times \left[1+(i-n)(i-n-1){\frac {n}{24\left(s+{\cfrac {n}{2}}\right)^{2}}}\right.\\&\left.+(i-n)(i-n-1)(i-n-2)(i-n-3){\frac {n(5n-2)}{15.16.24\left(s+{\cfrac {n}{2}}\right)^{4}+\ldots }}\right].\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe69eaaa47408315a5c41f7ad56742e08709e50)
Cette série est très convergente si
est peu considérable relativement à
elle peut d’ailleurs être employée dans le cas où
est fractionnaire ; quant au produit
il sera facile de l’obtenir en série par le no XIX.
Dans le cas où
la formule précédente donne
![{\displaystyle \Delta ^{n}s^{i}=1.2.3\ldots i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71e7505bb6280f06ec0bfd7688d3cf030a17543a)
ce qui est conforme à ce que l’on sait d’ailleurs.
XXIX.
Les formules
et
des deux numéros précédents supposent
légal ou moindre que
en effet, si l’on considère l’expression
![{\displaystyle \Delta ^{n}s^{i}={\frac {\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}}{\int {\cfrac {dx}{x^{i+1}}}e^{-x}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c1c1a5d8ee13c249bcbc74e92aac2a8715a373)
dont le développement a produit ces formules, on voit que les limites des intégrales du numérateur et du dénominateur étant déterminées en égalant à zéro les quantités sous les signes
ces limites seront toutes imaginaires lorsque
sera plus grand que
au lieu que, dans le cas où
sera moindre que
les limites de l’intégrale du numérateur seront réelles, tandis que celles de l’intégrale du dénominateur seront imaginaires ; il faut donc alors ramener ces dernières