d’où il suit que les limites de l’intégrale
sont
et
égal à l’une quelconque des racines de l’équation
![{\displaystyle 0=a+{\frac {b}{x}}+{\frac {c}{x^{2}}}+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ee93bab858d0770c8ecfb2631af37caf6c5f2a2)
Le nombre de ces racines étant égal au degré de l’équation différentielle
![{\displaystyle 0=asy_{s}+b(s-1-\mu )y_{s-1}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1648be4664fba055f05f483194f32a11ba73e2d)
on aura autant de valeurs particulières de
qu’il y a d’unités dans ce degré, et leur somme sera l’expression complète de cette variable.
Cette méthode peut servir encore à déterminer les différences infiniment petites très élevées de la fonction
prises relativement à
car, si l’on nomme
le degré de cette différence, on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{s}\left(a+bz+cz^{2}+hz^{3}+\ldots \right)^{\mu }}{dz^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99008cc8b6241ed6b3eed7c539f5ddb64bfa1106)
![{\displaystyle ={\frac {d^{s}\left[a+b(z+u)+c(z+u)^{2}+h(z+u)^{3}+\ldots \right]^{\mu }}{du^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e07bed4e97fe5256341a8e905c039d1d35f9fc)
pourvu que l’on suppose
après les différentiations dans le second membre de cette équation. Maintenant, si l’on désigne par
le coefficient de
dans le développement de
le second membre de l’équation précédente sera évidemment égal à
on aura donc
![{\displaystyle {\frac {d^{s}\left(a+bz+cz^{2}+hz^{3}+\ldots \right)^{\mu }}{dz^{s}}}=1.2.3\ldots sy_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99df15867cb447fbed983b1e623ce9b915d2638c)
étant un très grand nombre, on aura, par le no XIX, le produit
en série très convergente ; on a d’ailleurs, par ce qui précède,
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {A} \int x^{s-1}dx\left[a+b\left(z+{\frac {1}{x}}\right)+c\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{2}+h\left(z+{\frac {1}{x}}\right)^{3}+\ldots \right]^{\mu },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38e08b33d6c631f092c064667842a1658df9f8ef)
en prenant autant de termes semblables qu’il y a d’unités dans le degré de la fonction
et en les intégrant depuis