arbitraire, cette équation se partage dans les deux suivantes
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{m(m-1)\ldots (m-s+1)}}=\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f0be77c3c236c584387dc6b355f6cca5fc1bcd)
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots (s-1)}{m(m-1)\ldots (m-s+1)}}\sum {\frac {m(m-1)\ldots (m-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1105d37ef9c659a1718a103913f6000026c2c6d)
![{\displaystyle =(1+p)^{m}\int {\frac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e69c8d329ff12a97dad09cba1a550c4a18743e)
d’où l’on tire
![{\displaystyle \sum {\frac {m(m-1)\ldots (m-s+1)}{1.2.3\ldots s}}p^{s}=(1+p)^{m}{\frac {\int {\cfrac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}}}{\int {\cfrac {x^{s-1}dx}{(1+x)^{m+1}}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c33f0246931fd49d75e3092ba67a79e7d1c2ca65)
l’intégrale du numérateur étant prise depuis
jusqu’à
et celle du dénominateur étant prise depuis
jusqu’à
Il sera facile de réduire en séries ces deux intégrales par la méthode de l’article I, on aura ainsi la somme des
premiers termes du binôme
par une suite d’autant plus convergente que
et
seront de plus grands nombres.
XXII.
Proposons-nous encore d’intégrer, par approximation, l’équation aux différences finies
![{\displaystyle 0=(2+4s)y_{s}-(s+1)y_{s+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05fa85b8278b84766eb141ce4e2519199d7fe69)
Si l’on y fait
![{\displaystyle y_{s}=\int x^{s}\varphi dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9994d182fb8debbae01b8ec12b223c0d2d5eee4c)
et que l’on suppose
on aura
![{\displaystyle 0=\int \varphi dx\left[(2-x)\delta y+\left(4x-x^{2}\right){\frac {d\delta y}{dx}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4424fdaf557bb35c8765a5efc0113c533e2b50)
d’où l’on tire les deux équations
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&(2-x)\varphi -{\frac {d\left[x(4-x)\right]}{dx}},\\0=&x^{s+1}\varphi (4-x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9606f6da513d7ceecd8fbcba0bf36fbdd2bb5563)