sième étant prise depuis
jusqu’à
et ainsi de suite,
étant des constantes arbitraires.
Il peut arriver que les nombres
soient négatifs et, dans ce cas, l’équation
![{\displaystyle 0=e^{-(s-l)x}dx(1-qx)^{r+1}(1-q'x)^{r'+1}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9545bfce4ea819ab65f5848380c21a030ac5c444)
n’est pas satisfaite en y faisant
mais on peut observer que les résultats obtenus dans la supposition où ces nombres sont positifs ont également lieu lorsque ces mêmes nombres sont négatifs. Ainsi, en désignant par
l’intégrale, soit finie, soit réduite en série, par la méthode de l’article I, de la fonction différentielle
![{\displaystyle e^{-(s-l)x}dx(1-qx)^{r}(1-q'x)^{r'}\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b158dea45077c82274d7694e0f7392129678cd34)
intégrée depuis
jusqu’à
dans le cas où
et
sont positifs, si l’on change, dans
dans
et que l’on désigne par
ce que devient
la fonction
sera une valeur particulière de
dans le cas où le nombre
au lieu d’être positif, est négatif et égal à
car il est visible que l’équation
satisfaisant à l’équation proposée,
étant positif et quelconque, l’équation
doit pareillement y satisfaire,
étant négatif et quelconque. Ainsi, nous ne balancerons point dans la suite à étendre généralement à tous les cas possibles les résultats obtenus dans le cas où l’équation qui détermine les limites des intégrales est satisfaite.
Il est facile d’étendre la méthode précédente à l’équation aux différences finies
![{\displaystyle 0=(a+bs)y_{s}+(a'+b's)\Delta y_{s}+(a''+b''s)\Delta ^{2}y_{s}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/490ee1f0f2424af4d122556aa90e3b726469ab33)
ou à l’équation aux différences en partie finies et en partie infiniment petites,
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=(a+bs)y_{s}+(a'+b's)\Delta y_{s}&+(a'''+b'''s)\Delta ^{2}y_{s}+\ldots \\+(a''+b''s){\frac {dy_{s}}{ds}}&+(a^{\text{ıv}}+b^{\text{ıv}}s)\Delta {\frac {dy_{s}}{ds}}+\ldots \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ee686a38fb5b71b3fe7f06a8321878406ffdd3)