gentes les différents termes de cette expression lorsque 5 sera un nombre considérable.
XI.
Pour déterminer la fonction
de
que l’on parvient ainsi à réduire en séries convergentes, reprenons l’équation (1) du no VIII et supposons qu’elle soit différentielle de l’ordre
si l’on désigne par
les
valeurs particulières qui y satisfont, lorsqu’on y fait
en sorte que son intégrale complète soit alors
![{\displaystyle y_{s}=\mathrm {H} u_{s}+\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }\,\sideset {^{1}}{_{s}}u+\sideset {^{2}}{}{\mathrm {H} }\,\sideset {^{2}}{_{s}}u+\ldots +\sideset {^{n-1}}{}{\mathrm {H} }\,\sideset {^{n-1}}{_{s}}u+\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5465fd596440837c56eb2fbfe8e49b15e74fa240)
si l’on forme ensuite les quantités suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}u_{s}^{1}=&u_{s}\Delta {\frac {\sideset {^{1}}{_{s-1}}u}{u_{s-1}}},\\\sideset {^{1}}{^{1}_{s}}u=&u_{s}\Delta {\frac {\sideset {^{2}}{_{s-1}}u}{u_{s-1}}},\\\sideset {^{2}}{^{1}_{s}}u=&u_{s}\Delta {\frac {\sideset {^{3}}{_{s-1}}u}{u_{s-1}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\u_{s}^{2}=&u_{s}^{1}\Delta {\frac {\sideset {^{1}}{^{1}_{s-1}}u}{u_{s-1}^{1}}},\\\sideset {^{1}}{^{2}_{s}}u=&u_{s}^{1}\Delta {\frac {\sideset {^{2}}{^{1}_{s-1}}u}{u_{s-1}^{1}}},\\\sideset {^{2}}{^{2}_{s}}u=&u_{s}^{1}\Delta {\frac {\sideset {^{3}}{^{1}_{s-1}}u}{u_{s-1}^{1}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\u_{s}^{3}=&u_{s}^{2}\Delta {\frac {\sideset {^{1}}{^{2}_{s-1}}u}{u_{s-1}^{2}}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4bf9a7fe253d48cf4b25b9d651ed33d64f14fa)
en continuant ainsi jusqu’à ce que l’on parvienne à former
soit
![{\displaystyle u_{s}^{n-1}={\frac {1}{\sideset {^{n-1}}{_{x-n}}z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40c7853290518c766864b928fbfd22905eb2ee2)
et nommons
ce que devient
lorsqu’on y