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Cette équation, ayant lieu quel que soit $i,$ servira à interpoler les suites dont les différences des termes vont en décroissant.

Toutes les manières de développer la puissance ${\frac {1}{t^{i}}}$ donneront autant de méthodes différentes pour interpoler les suites ; soit, par exemple,

${\frac {1}{t}}=1+{\frac {\alpha }{t^{r}}}\,;$

en développant ${\frac {1}{t^{i}}},$ suivant les puissances de $\alpha ,$ au moyen du beau théorème de M. de la Grange (voir les Mémoires de l’Académie, année 1777, page 115), on trouvera facilement

${\begin{aligned}{\frac {u}{t^{i}}}=u&\left[1+i\alpha +{\frac {i(i+2r-1)}{1.2}}\alpha ^{2}+{\frac {i(i+3r-1)(i+3r-2)}{1.2.3}}\alpha ^{3}\right.\\&\ \ \quad \qquad \left.+{\frac {i(i+4r-1)(i+4r-2)(i+3r-2)}{1.2.3.4}}\alpha ^{4}\right]\end{aligned}}$

Maintenant, $\alpha$ étant égal à $t^{r}\left({\frac {1}{t}}-1\right),$ le coefficient de $t^{x}$ dans le développement de $u\alpha$ est, par l’article précédent, $\Delta y_{x-r}\,;$ ce même coefficient dans le développement de $u\alpha ^{2}$ est $\Delta ^{2}y_{x-2r},$ et ainsi de suite. On aura donc

$y_{x+1}=y_{x}$

${\begin{aligned}+i\Delta y_{x-r}&+{\frac {i(i+2r-1)}{1.2}}\Delta ^{2}y_{x-2r}+{\frac {i(i+3r-1)(i+3r-2)}{1.2.3}}\Delta ^{3}y_{x-3r}\\&+{\frac {i(i+4r-1)(i+4r-2)(i+3r-2)}{1.2.3.4}}\Delta ^{4}y_{x-4r}+\ldots .\end{aligned}}$

IV.

Voici présentement une méthode générale d’interpolation qui a l’avantage de s’appliquer, non seulement aux suites dont les différences des termes finissent par être nulles, mais encore aux suites dont la dernière raison des termes est celle d’une suite récurrente quelconque.