étant une fonction de
étant des fonctions rationnelles et entières de la même variable, et la caractéristique
étant celle des différences finies, en sorte que
Soit
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&a+a^{(1)}s+a^{(2)}s^{2}+a^{(3)}s^{3}+\ldots ,\\\mathrm {B} =&b+b^{(1)}\,s+b^{(2)}\,s^{2}+b^{(3)}\,s^{3}+\ldots ,\\\mathrm {C} =&c+c^{(1)}\,s+c^{(2)}\,s^{2}+c^{(3)}\,s^{3}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838f0de5e19486ef9652af16674e415553a5528f)
et représentons la valeur de
par l’intégrale
étant une fonction de
indépendante de
et l’intégrale étant prise entre des limites indépendantes de cette variable ; on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \ \ y_{s}=&\int e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)\varphi dx,\\\Delta ^{2}y_{s}=&\int e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{2}\varphi dx,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7227e1b2bdbb9b6e26a4ca2920ee164e49b19704)
De plus, si l’on désigne
par
on aura
![{\displaystyle se^{-sx}=-{\frac {d\delta y}{dx}},\quad s^{2}e^{-sx}={\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\quad s^{3}e^{-sx}=-{\frac {d^{3}\delta y}{dx^{3}}},\quad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67648fd7d8f58a56c6ed9a537937be45891d95e)
l’équation (1) deviendra ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {S} =\int \varphi dx&\left\{\ \quad \delta y\ \left[a\,\quad +b\quad \left(e^{-x}-1\right)+c\quad \left(e^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\right.\\&-{\frac {d\delta y}{dx}}\ \left[a^{(1)}+b^{(1)}\left(e^{-x}-1\right)+c^{(1)}\left(e^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\\&+{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}}\left[a^{(2)}+b^{(2)}\left(e^{-x}-1\right)+c^{(2)}\left(e^{-x}-1\right)^{2}+\ldots \right]\\&\left.+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots {\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right\}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fca635173f860e57e4f03a2e5f4f8045f937cb27)
Si l’on représentait
par l’intégrale
on aurait, en désignant
par ![{\displaystyle \delta y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094cc34f351d40d89641cdd1d8e3982632c632bd)
![{\displaystyle sx^{s}=x{\frac {d\delta y}{dx}},\qquad s(s-1)x^{s}=x^{2}{\frac {d^{2}\delta y}{dx^{2}}},\qquad \ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e5d7d3617fa15a5373c51ba05ce1a21e28044d0)
on aurait ensuite
![{\displaystyle \Delta y_{s}=\int \delta y(x-1)\varphi dx,\qquad \Delta ^{2}y_{s}=\int \delta y(x-1)^{2}\varphi dx,\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3307274e3c8d779e0babd355eeb4d4f1a0113dc7)