Si dans la formule (a) on suppose
et par conséquent
très petit de l’ordre
cette formule ne pourra pas servir dans tout l’intervalle où
est moindre que
dans ce cas, on peut faire usage de la formule
qui cesse elle-même d’être convergente lorsque
ou, ce qui revient au même,
n’est pas une quantité très petite de l’ordre
étant positif ; mais, dans l’intervalle où cela n’est pas, la série
peut être employée, en sorte que ces deux séries se servent de supplément l’une à l’autre ; il y a même des intervalles où toutes les deux peuvent être d’usage, car, puisque la convergence de la série
exige que
soit de l’ordre
étant positif, et que celle de la série
exige que
soit positif, ces deux séries peuvent servir à la fois pour toutes les valeurs positives de
moindres que
La première sera ordonnée par rapport aux puissances de
et la seconde le sera par rapport aux puissances de
il faudra donc préférer la première ou la seconde, suivant que
sera plus grand ou moindre que
c’est-à-dire suivant que l’on aura
plus grand ou plus petit que
La formule
donne, en intégrant depuis
jusqu’à
![{\displaystyle (c)\left\{{\begin{aligned}\int ydx&=\mathrm {Y} \left(\mathrm {U} +{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}+{\frac {1.3}{2^{2}}}{\frac {d^{4}\mathrm {U} ^{5}}{1.2.3dx^{4}}}+\ldots \right)\int dte^{-t^{2}}\\&+{\frac {\mathrm {Y} }{2}}e^{-\mathrm {T} ^{2}}\left[{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}\ +\mathrm {T} {\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}\ +\left(\mathrm {T} ^{2}+1\right){\frac {d^{3}\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3dx^{3}}}\ +\ldots \right]\\&-{\frac {\mathrm {Y} }{2}}e^{-\mathrm {T} '^{2}}\left[{\frac {d\mathrm {U} ^{2}}{dx}}+\mathrm {T} '{\frac {d^{2}\mathrm {U} ^{3}}{1.2dx^{2}}}+\left(\mathrm {T} '^{2}+1\right){\frac {d^{3}\mathrm {U} ^{4}}{1.2.3dx^{3}}}+\ldots \right],\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94d4683745abc0f52d11e305a4e00e9d08635b4)
intégrale
étant prise depuis la valeur de
qui convient à
jusqu’à celle qui convient à ![{\displaystyle t=\mathrm {T} '.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b447270762d6630efeb4dc10dd12af7183b5aa9)
Si l’on suppose
et
on aura généralement
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{r}e^{-\mathrm {T} ^{2}}=0,\qquad \mathrm {T} '^{r}e^{-\mathrm {T} '^{2}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9170aaec425e369dd1d8a4d32e70ae484fd0b2ca)
on a d’ailleurs dans ce cas (no IV)
![{\displaystyle \int dte^{-t^{2}}={\sqrt {\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4345d5508e09c660e96f8243408bbd74127178a9)