Supposons maintenant
pair et égal à
si l’on fait
dans la formule (Z), elle donnera
![{\displaystyle 4i^{2}K^{i}\int t^{i-1}dte^{-t^{2i}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca2b5b62750d2aee0bcc1d151097bda356d9f6a8)
![{\displaystyle {\frac {\pi }{\sin {\cfrac {\pi }{2i}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {2}{2i}}}}\int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {3}{2i}}}}\ldots \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {1}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf4eb6fdb703ffaf3a05f712b1280329c4b3974)
Or, en changeant
en
l’intégrale
deviendra
![{\displaystyle {\frac {1}{i}}\int dte^{-t^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2i}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41a53012cbec18c6f0f3f7a350bb11aa8aeb6cfb)
on aura donc
(R)
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ainsi
sera donné en fonction des
premières intégrales algébriques de la formule (Z), et cette même formule donnera les valeurs de toutes les intégrales transcendantes
en fonctions de ces mêmes intégrales, lorsque
sera égal ou moindre que
ou, ce qui revient au même, lorsque l’exposant
sera égal ou plus grand que
Si cet exposant est moindre, alors
sera plus grand que
et la formule (T) donnant la valeur de l’intégrale
au moyen de celle-ci
cette valeur ne dépendra que des
premières intégrales algébriques de la formule (Z) ; ainsi toutes les valeurs de l’intégrale
ne dépendront, quel que soit
que de ces
premières intégrales algébriques, et, comme les valeurs correspondantes à
plus grand que
sont données par la formule (Z) en fonctions de ces intégrales et des suivantes
![{\displaystyle \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {i+1}{2i}}}},\quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {i+2}{2i}}}},\quad \ldots ,\quad \int {\frac {du}{\left(1-u^{2i}\right)^{\frac {2i-1}{2i}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0caa5074cfe3fea28a1f0190de26170da788ae05)
il en résulte que chacune de ces dernières intégrales sera donnée en fonction des
premières intégrales algébriques de la formule (Z).
Si
est impair et égal à
la formule (Z) donnera, en y faisant