d’où il est facile de conclure
(B)
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Cette formule pourra être employée dans tout l’intervalle où
diffère très peu de
elle peut conséquemment servir de supplément à la formule (A) du numéro précédent ; mais, au lieu d’être ordonnée comme elle par rapport aux puissances de
elle ne le sera que relativement aux puissances de
car il est visible que, dans ce dernier cas,
n’est que de l’ordre ![{\displaystyle \alpha ^{\frac {1}{\mu +1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e26df2a480217462b2ebad1e6c3fa2c0c07e4d87)
Pour déterminer plus facilement les quantités
supposons
![{\displaystyle \log \mathrm {Y} -\log y=(x-a)^{\mu +1}\left[\mathrm {A+B} (x-a)+\mathrm {C} (x-a)^{2}+\ldots \right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/885fb588bc931f9beec84efb045773f12bc29f32)
nous aurons, en changeante
en
après les différentiations,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&-{\frac {d^{\mu +1}\log y}{1.2.3\ldots (\mu +1)dx^{\mu +1}}},\\\mathrm {B} =&-{\frac {d^{\mu +2}\log y}{1.2.3\ldots (\mu +2)dx^{\mu +2}}},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78a38945ed106f221403b9c4c88cb7e1dec859c)
Nous aurons ensuite, quel que soit ![{\displaystyle r,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/250644a0f511e9078be6f89ba78a606a0e08c0a0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}v^{r}=&\left[\mathrm {A+B} (x-a)+\mathrm {C} (x-a)^{2}+\ldots \right]^{-{\frac {r}{\mu +1}}}\\=&\mathrm {A} ^{-{\frac {r}{\mu +1}}}-{\frac {r}{\mu +1}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r+\mu +1}{\mu +1}}}\mathrm {B} (x-a)\\&+\left[{\frac {r(r+\mu +1)}{1.2(\mu +1)^{2}}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r+2\mu +2}{\mu +1}}}\mathrm {B} ^{2}-{\frac {r}{\mu +1}}\mathrm {A} ^{-{\frac {r+\mu +1}{\mu +1}}}\mathrm {C} \right](x-a)^{2}+\ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/057f1849495e2a19129e2d0d328aa12793a6dc9c)
Si l’on fait successWeinenl dans cet formule
il sera facile d’en conclure les valeurs de
et la formule (B) ne présentera plus d’autres difficultés que celles qui résul-