si l’on y substitue, au lieu de
et
leurs valeurs trouvées dans l’article précédent, et ensuite
au lieu de
étant connu par l’article IV, on aura, après toutes les réductions et en négligeant le carré de
(7)
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Soit, pour abréger,
![{\displaystyle u^{2}+\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)^{2}+\cos ^{2}\theta =m,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9bc8bdc94e75f49654072b5f7b3625cbf609f77)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(2u\cos \theta -2{\frac {d\theta }{dt}}\sin \theta \right)&\left[(\mathrm {R} '-1)\cos(\mathrm {A} -\alpha )-{\frac {\sin(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]\\+2{\frac {d\alpha }{dt}}\cos \theta &\left[(\mathrm {R} '-1)\sin(\mathrm {A} -\alpha )+{\frac {\cos(\mathrm {A} -\alpha )}{\mathrm {R} }}\right]=n,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72ed12ae4cd13134af6059bac61d0c670e4cbfc)
l’équation précédente donnera
![{\displaystyle r^{2}\left(m\rho ^{2}+n\rho +{\frac {1}{\mathrm {R} ^{2}}}\right)^{2}=4,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/470f039d3227c73871840b8c424ded8dd53835b0)
partant
(8)
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cette équation, qui n’est que du sixième degré, présente, sous ce rapport, une plus grande simplicité que l’équation (5) de l’article IV. Ces deux équations, ayant lieu à la fois, ont un commun diviseur, et, en le cherchant par les méthodes connues, on aura sans tâtonnement la valeur de
En effet, si l’on suppose
on parviendra facilement