ce qui donne
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{u_{1}}}-1\right)^{n}=u\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)\left(1+{\frac {1}{t_{1}}}-1\right)-1\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/733e03f256364e04de8f5e8fbdbfceb38562cc53)
partant, si l’on désigne par la caractéristique
la différence finie de
prise en ne faisant varier que
et par la caractéristique
cette différence prise en ne faisant varier que
on aura, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,
![{\displaystyle \Delta ^{n}y_{x,x_{1}}=\left[\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)\left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)-1\right]^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f63400f81dcc2cfa31059a9be28789ddd1c676)
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on applique aux caractéristiques
et
les exposants des puissances de
et de ![{\displaystyle \Delta _{2}y_{x,x_{1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a59e916f33482619c26d6bb4e3e0ad8a62aaafa8)
En changeant
en
on s’assurera facilement, par un raisonnement analogue à celui de l’article X, que l’équation précédente deviendra
![{\displaystyle \sideset {}{^{n}}\sum y_{x,x_{1}}={\frac {1}{\left[\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)\left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)-1\right]^{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d68085fabe8eaa42e8aa389134eead4cc84ae889)
pourvu que, dans le développement du second membre de cette équation, on change les différences négatives en intégrales.
Il est clair que
est la fonction génératrice de la différence finie
ième de
lorsque
varie de
et que
varie de
or on a
![{\displaystyle u\left({\frac {1}{t^{i}t_{1}^{i_{1}}}}-1\right)^{n}=\left[\left(1+{\frac {1}{t}}-1\right)^{i}\left(1+{\frac {1}{t_{1}}}-1\right)^{i_{1}}-1\right]^{n}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/259d1a623053e1caf2ca3aeda9462979293d2f39)
donc, si l’on désigne par la caractéristique
les différences finies, et par la caractéristique
les intégrales finies, lorsque
varie de
et que
varie de
on aura, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sideset {^{1}}{^{n}}\Delta y_{x,x_{1}}=&\left[\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{i}\left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)^{i_{1}}-1\right]^{n},\\\sideset {^{1}}{^{n}}\sum y_{x,x_{1}}=&{\frac {1}{\left[\left(1+\Delta _{1}y_{x,x_{1}}\right)^{i}\left(1+\Delta _{2}y_{x,x_{1}}\right)^{i_{1}}-1\right]^{n}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6e9925d755c2b9b68f15c6fccd64dbcff09aa40)
pourvu que, dans le développement des seconds membres de ces équa-