ce qui donne pour l’équation de la courbe tautochrone
Dans le vide, et lorsque la résistance est proportionnelle à la simple vitesse, 
est nul, et cette équation devient
équation à la cycloïde.
Il est remarquable que le coefficient de la partie de la résistance, proportionnelle au carré de la vitesse, n’entre point dans l’expression du temps 
et il est visible, par l’analyse précédente, que cette expression serait la même, si l’on ajoutait à la loi précédente de la résistance les termes 
Soit, en général, 
la force retardatrice le long de la courbe ; on aura
est une fonction du temps 
et de l’arc total parcouru, qui par conséquent est fonction de et de . En différentiant cette dernière fonction, on aura une équation différentielle de cette forme
étant une fonction de et de 
qui doit être nulle, par la condition du problème, lorsque a une valeur déterminée et indépendante de l’arc total parcouru. Supposons, par exemple, 
étant fonction de seul, et étant fonction de 
seul ; on aura
mais l’équation 
donne , et par conséquent 
égal à une fonc-
