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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

On fera disparaître le terme multiplié par ${\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}$ au moyen de l’équation

$0={\psi '\left(s'\right)}+n\left[\psi '\left(s'\right)\right]^{2},$

d’où l’on tire, en intégrant,

$\psi \left(s'\right)=\mathrm {log} \left[h\left(s'+q\right)^{\frac {1}{n}}\right]=s,$

$h$ et $q$ étant des arbitraires. Si l’on fait commencer $s'$ avec $s,$ on aura $hq^{\frac {1}{n}}=1,$ et si l’on fait, pour plus de simplicité $h=1,$ on aura

$s'=c^{ns}\,-\,1$,

$c$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité ; l’équation différentielle ($l$)devient alors

$0={\frac {d^{2}s'}{dt^{2}}}+m{\frac {ds'}{dt}}+n^{2}g{\frac {dz}{ds'}}\left(1+s'\right)^{2}.$

En supposant $s'$ très-petit, nous pourrons développer le dernier terme de cette équation dans une suite ascendante par rapport aux puissances de $s',$ et qui sera de cette forme $ks'+ls'^{i}+\cdots ,$ $i$ étant plus grand que l’unité ; ce qui donne

$0={\frac {d^{3}s'}{dt^{2}}}+m{\frac {ds'}{dt}}+ks'+ls'^{i}+\cdots$

Cette équation, multipliée par $e^{\frac {mt}{2}}\left(\cos \gamma t+{\sqrt {-1}}\sin \gamma t\right),$ et ensuite intégrée, devient, $\gamma$ étant supposé égal à ${\sqrt {k-{\frac {m^{2}}{4}}}},$

$e^{\frac {mt}{2}}\left(\cos \gamma t+{\sqrt {-1}}\sin \gamma t\right)\left[{\frac {ds'}{dt}}+\left({\frac {m}{2}}-\gamma \,{\sqrt {-1}}\right)s'\right]$

$=-l\int \,s'dt\cdot e^{\frac {mt}{2}}\,\left(\cos \gamma t+{\sqrt {-1}}\sin \gamma t\right)-\cdots$

En comparant séparément les parties réelles et les parties imaginaires,