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MÉCANIQUE CÉLESTE.

l’équation différentielle précédente deviendra

$dt={\frac {r{\sqrt {2\left(a+b\right)}}}{\sqrt {g\left[\left(a+b\right)^{2}+r^{2}-b^{2}\right]}}}\cdot {\frac {d\theta }{\sqrt {1-\gamma ^{2}sin^{2}\theta }}},$

$\gamma ^{2}$ étant égal à ${\frac {a^{2}\,-\,b^{2}}{\left(a+b\right)^{2}+r^{2}-b^{2}}}.$

L’angle $\theta$ donne la coordonnée $z$ au moyen de l’équation

$z=a\cos ^{2}\theta +b\sin ^{2}\theta ,$

et la coordonnée $z,$ divisée par $r,$ exprime le cosinus de l’angle que le rayon $r$ fait avec la verticale.

Soit $\varpi$ l’angle que le plan vertical qui passe par le rayon $r$ fait avec le plan vertical qui passe par l’axe des $x\ ;$ on aura

$x={\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\cos \varpi ,y={\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\sin \varpi ,$

ce qui donne

$xdy-ydx=\left(r^{2}-z^{2}\right)d\varpi \ ;$

l’équation $xdy-ydx=c'dt$ donnera ainsi

$d\varpi ={\frac {c'dt}{r^{2}-z^{2}}}.$

En substituant pour $z$ et $dt$ leurs valeurs précédentes en $\theta ,$ on aura l’angle $\varpi$ en fonction de $\theta \ ;$ ainsi l’on connaîtra, pour un temps quelconque, les deux angles $\theta$ et $\varpi ,$ ce qui suffit pour déterminer la position du mobile.

Nommons demi-oscillation du mobile le temps qu’il emploie à parvenir de la plus grande à la plus petite valeur de $z\ ;$ soit ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {T}$ ce temps. Pour le déterminer, il faut intégrer la valeur précédente de $dt$ depuis $\theta =0$ jusqu’à $\theta ={\frac {1}{2}}\,\pi ,\;\pi$ étant la demi-circonférence dont le rayon est l’unité ; on trouvera ainsi

$\mathrm {T} =\pi {\sqrt {\frac {r}{g}}}{\sqrt {\frac {2r\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)^{2}+r^{2}-b^{2}}}}$

$\times \left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\gamma ^{2}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\gamma ^{4}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\gamma ^{6}+\cdots \right].$

Concevons le point suspendu à l’extrémité d’un fil sans masse, et fixe