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MÉCANIQUE CÉLESTE.

$c$ étant une constante arbitraire. ${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}$ est le carré de la vitesse de M, vitesse que nous désignerons par $v\ ;$ en supposant donc que $\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz$ soit la différence exacte d’une fonction $\varphi ,$ on aura

(g)

$v^{2}=c+2\varphi .$

Ce cas a lieu lorsque les forces qui sollicitent le point M sont fonctions des distances de leurs origines à ce point, ce qui comprend à peu près toutes les forces de la nature. En effet, ${\rm {S,S',\cdots }}$ représentant ces forces, et $s,s'\cdots$ étant les distances du point M à leurs origines, la résultante de toutes ces forces, multipliée par la variation de sa direction, sera, par le n^o 2, égale à $\sum \mathrm {S} \delta s\ ;$ elle est encore égale à $\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\ ;$ on a donc

$\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z=\sum \mathrm {S} \delta s\ ;$

ainsi, le second membre de cette équation étant une différence exacte, le premier membre l’est pareillement.

Il résulte de l’équation ($g$) : 1^o que, si le point M n’est sollicité par aucune force, sa vitesse est constante, puisque alors $\varphi =0\ ;$ c’est ce dont il est facile de s’assurer d’ailleurs, en observant qu’un corps mû dans une surface ou sur une ligne courbe ne perd, à la rencontre de chaque plan infiniment petit de la surface ou de chaque côté infiniment petit de la courbe, qu’une partie infiniment petite du second ordre de sa vitesse ; 2^o que le point M, en partant d’un point donné avec une vitesse donnée pour arriver à un autre point, aura, en parvenant à ce dernier point, la même vitesse, quelle que soit la courbe qu’il aura décrite.

Mais, si le mobile n’est point assujetti à se mouvoir sur une courbe déterminée, la courbe qu’il décrit jouit d’une propriété singulière, à laquelle on a été conduit par des considérations métaphysiques, et qui n’est au fond qu’un résultat remarquable des équations différentielles précédentes. Elle consiste en ce que l’intégrale $\int vds,$ comprise entre les deux points extrêmes de la courbe décrite, y est moindre que sur toute autre courbe, si le corps est libre, ou sur toute autre courbe assu-