Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/59

23

PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

Mais, dans ce nouvel instant, les vitesses dont le mobile est animé parallèlement aux coordonnées $x,y,z$ sont évidemment

${\frac {dx}{dt}}+d{\frac {dx}{dt}},\quad {\frac {dy}{dt}}+d{\frac {dy}{dt}},\quad {\frac {dz}{dt}}+d{\frac {dz}{dt}}\ ;$

les forces

$-d{\frac {dx}{dt}}+\mathrm {P} dt,\quad -d{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {Q} dt,\quad -d{\frac {dz}{dt}}+\mathrm {R} dt$

doivent donc être détruites, en sorte que le mobile M, en vertu de ces forces seules, serait en équilibre. Ainsi, en désignant par $\delta x,\delta y,\delta z$ les variations quelconques des trois coordonnées $x,y,z,$ variations qu’il ne faut pas confondre avec les différences $dx,dy,dz$ qui expriment les espaces que le mobile décrit parallèlement aux coordonnées durant l’instant $dt,$ l’équation ($b$) du n° 3 deviendra

(f)

$0=\delta x\left(d{\frac {dx}{dt}}-\mathrm {P} dt\right)+\delta y\left(d{\frac {dy}{dt}}-\mathrm {Q} dt\right)+\delta z\left(d{\frac {dz}{dt}}-\mathrm {R} dt\right).$

Si le point ${\rm {M}}$ est libre, on égalera séparément à zéro les coefficients de $\delta x,\delta y$ et $\delta z,$ et l’on aura, en supposant constant l’élément $dt$ du temps, les trois équations différentielles

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=\mathrm {P} ,\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=\mathrm {Q} ,\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=\mathrm {R}$.

Si le point M n’est pas libre, en sorte qu’il soit assujetti à se mouvoir sur une surface ou sur une ligne courbe, on éliminera de l’équation ($f$), au moyen des équations à la surface ou à la courbe, autant de variations $\delta x,\delta y,\delta z$ qu’il y aura d’équations, et l’on égalera séparément à zéro les coefficients des variations restantes.

8. On peut supposer dans l’équation ($f$) les variations $\delta x,\delta y,\delta z$ égales aux différentielles $dx,dy,dz,$ puisque ces différentielles sont nécessairement assujetties aux conditions du mouvement du mobile M. En faisant cette supposition, et en intégrant ensuite l’équation ($f$), on aura

${\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}=c+2\int \left(\mathrm {P} dx+\mathrm {Q} dy+\mathrm {R} dz\right).$