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MÉCANIQUE CÉLESTE.

entre la vitesse et la force, $\varphi \left(f\right)$ étant une fonction de $f,$ qu’il faut déterminer par l’expérience. Soient $a,$ $b,$ $c$ les trois forces partielles dans lesquelles la force $f$ se décompose parallèlement à trois axes perpendiculaires entre eux. Concevons ensuite le mobile M sollicité par une nouvelle force $f',$ qui se décompose en trois autres $a',$ $b',$ $c'$ parallèles aux mêmes axes. Les forces dont ce mobile sera animé suivant ces axes seront $a+a',$ $b+b',$ $c+c'\ :$ ; et, en nommant $\mathrm {F}$ la force unique qui en résulte, on aura, par ce qui précède,

$\mathrm {F} ={\sqrt {\left(a+a'\right)^{2}+\left(b+b'\right)^{2}+\left(c+c'\right)^{2}}}.$

Si l’on nomme $\mathrm {U}$ la vitesse correspondante à $\mathrm {F} ,$ ${\frac {\left(a+a'\right)\mathrm {U} }{\mathrm {F} }}$ sera cette vitesse décomposée parallèlement à l’axe des $a\ ;$ ainsi la vitesse relative du mobile sur la Terre sera, parallèlement à cet axe,

${\frac {\left(a+a'\right)\mathrm {U} }{\mathrm {F} }}-{\frac {av}{f}}$  ou  $\left(a+a'\right)\varphi \left(\mathrm {F} \right)-a\varphi \left(f\right).$

Les forces les plus considérables que nous puissions imprimer aux corps à la surface de la Terre étant beaucoup plus petites que celles dont ils sont animés en vertu du mouvement de la Terre, nous pouvons considérer $a',$ $b',$ $c'$ comme des quantités infiniment petites relativement à $f\ ;$ nous aurons ainsi

$\mathrm {F} =f+{\frac {aa'+bb'+cc'}{f}},$  et  $\varphi \left(\mathrm {F} \right)=\varphi \left(f\right)+{\frac {aa'+bb'+cc'}{f}}\varphi '\left(f\right),$

$\varphi '\left(f\right)$ étant la différentielle de $\varphi \left(f\right)$ divisée par $df.$ La vitesse relative de M, suivant l’axe des $a,$ deviendra ainsi

$a'\varphi \left(f\right)+{\frac {a}{f}}\left(aa'+bb'+cc'\right)\varphi '\left(f\right).$

Ses vitesses relatives, suivant les axes des $b$ et des $c,$ seront

$b'\varphi \left(f\right)+{\frac {b}{f}}\left(aa'+bb'+cc'\right)\varphi '\left(f\right),$

$c'\varphi \left(f\right)+{\frac {c}{f}}\left(aa'+bb'+cc'\right)\varphi '\left(f\right).$