On a ensuite, par le no 64,
![{\displaystyle \mu e={\sqrt {f^{2}+f'^{2}+f''^{2}}},\qquad f''={\frac {f'c'-fc''}{c}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ec36c3bb7fbb4ef4b0eb2438dd543aaa619fe40)
ainsi,
et
étant, dans la supposition précédente, de l’ordre des forces perturbatrices,
est du même ordre, et, en négligeant les termes de l’ordre du carré de ces forces, on aura
Si l’on substitue, au lieu de
sa valeur
dans les expressions de
et de
on aura
![{\displaystyle \mu e\sin \varpi =f',\qquad \mu e\cos \varpi =f\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba04c3dd358be889792851d0d879167536173d5)
ces deux équations détermineront l’excentricité et la position du périhélie, et l’on en tirera facilement
![{\displaystyle \mu ^{2}ede=fdf+f'df',\qquad \mu ^{2}ed\varpi =fdf'-f'df.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4786c048bcc3853f832d36922672afda3f83df1f)
En prenant pour le plan des
et des
celui de l’orbite de
on a, par les no 19 et 20, dans le cas des ellipses invariables,
![{\displaystyle r={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{1+e\cos(v-\varpi )}},\qquad dr={\frac {r^{2}dv.e\sin(v-\varpi )}{a\left(1-e^{2}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b0a79a0a0e85776caf403d8dc5e6072ea8c0a0)
![{\displaystyle r^{2}dv=a^{2}ndt.{\sqrt {1-e^{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e461adc9a4bb9d7de05148e4262c986aadaf653c)
et, par le no 63, ces équations subsistent encore dans le cas des ellipses variables ; les expressions de
de
deviendront ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}df&=-{\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\left[2\cos v+{\frac {3}{2}}e\cos \varpi +{\frac {1}{2}}e\cos(2v-\varpi )\right]{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -a^{2}ndt.{\sqrt {1-e^{2}}}\sin v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}},\\\\df'&=-{\frac {andt}{\sqrt {1-e^{2}}}}\left[2\sin v+{\frac {3}{2}}e\sin \varpi +{\frac {1}{2}}e\sin(2v-\varpi )\right]{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +a^{2}ndt.{\sqrt {1-e^{2}}}\cos v{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b0b88c809bb99c8d6e5f042142cc52d527adb4)
partant
![{\displaystyle {\begin{aligned}ed\varpi &=-{\frac {andt}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}\sin(2v-\varpi )\left[2+e\cos(v-\varpi )\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad +{\frac {a^{2}ndt{\sqrt {1-e^{2}}}}{\mu }}\cos(v-\varpi ){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}},\\\\de&=-{\frac {andt}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}\left[2\cos(v-\varpi )+e+e\cos ^{2}(v-\varpi )\right]{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial v}}\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {a^{2}ndt}{\mu }}{\sqrt {1-e^{2}}}\sin(v-\varpi ){\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fed0304afb5855ebff2e2ef08cf50db28fb7cee2)