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Les valeurs de $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z$ ne sont pas les mêmes dans les deux ellipses ; elles sont augmentées, dans le cas de l’ellipse variable, des quantités dues aux forces perturbatrices. On voit ainsi que les deux fonctions ${\rm {V''}}$ et ${\rm {V',}}$ ne différent qu’en ce que, dans la seconde, les paramètres $c,c',\ldots$ croissent de $dc,dc',\ldots ,$ et les valeurs de $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z,$ relatives à l’ellipse invariable, y sont augmentées des quantités dues aux forces perturbatrices. On formera donc ${\rm {V'_{1}-V''}}$ en différentiant ${\rm {V'}}$ dans la supposition de $x,y,z$ constants, et de $dx,dy,dz,c,c',\ldots$ variables, pourvu que, dans cette différentielle, on substitue pour $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z$ les parties de leurs valeurs uniquement dues aux forces perturbatrices. Maintenant, si dans la fonction ${\rm {V''-V'}}$ on substitue, au lieu de $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z,$ leurs valeurs relatives au mouvement elliptique, on aura une fonction de $x,y,z,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},c,c',\ldots$ qui, dans le cas de l’ellipse invariable, est nulle ; cette fonction est donc encore nulle dans le cas de l’ellipse variable. On a évidemment, dans ce dernier cas, ${\rm {V'_{1}-V=0,}}$ puisque cette équation est la différentielle de l’équation ${\rm {V'=0\,;}}$ en en retranchant l’équation ${\rm {V''-V=0,}}$ on aura ${\rm {V'_{1}-V''=0.}}$ Ainsi l’on peut, dans ce cas, différentier l’équation ${\rm {V'=0,}}$ en n’y faisant varier que $dx,dy,dz,c,c',\ldots$ pourvu que l’on substitue, pour $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z,$ les parties de leurs valeurs relatives aux forces perturbatrices. Ces résultats sont exactement les mêmes que ceux auxquels nous sommes parvenus dans le n^o 45, par des considérations purement analytiques ; mais, vu leur importance, nous avons cru devoir les déduire ici de la considération du mouvement elliptique. Cela posé,

64. Reprenons les équations (P) du n^o 46,

(P)

$\left\{{\begin{aligned}0&={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mu x}{r^{3}}}+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial x}},\\\\0&={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mu y}{r^{3}}}+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial y}},\\\\0&={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mu z}{r^{3}}}+{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial z}}.\end{aligned}}\right.$