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59. Considérons présentement les équations relatives à la position des orbites. Reprenons pour cela les équations (3) et (4) du n^o 53,

${\frac {dp}{dt}}=-{\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(q-q'),\qquad {\frac {dq}{dt}}={\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}(p-p').$

On a, par le n^o 49,

$a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}=\alpha ^{2}b_{\frac {3}{2}}^{(1)}\,;$

on a ensuite, par le même numéro,

$b_{\frac {3}{2}}^{(1)}=-{\frac {3b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}\,;$

on aura donc

${\frac {m'n}{4}}a^{2}a'{\rm {B}}^{(1)}=-{\frac {3m'n\alpha ^{2}b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)}}{4\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}}.$

Le second membre de cette équation est ce que nous avons désigné par $(0,\ 1)$ dans le n^o 55; on aura ainsi

${\frac {dp}{dt}}=(0,\ 1)(q-q'),\qquad {\frac {dq}{dt}}=(0,\ 1)(p-p').$

De là il est aisé de conclure que les valeurs de $q,p,q',p',\ldots$ seront déterminées par le système suivant d’équations différentielles

${\rm {(C)}}\ \left\{{\begin{aligned}{\frac {dq}{dt}}&=\ \ \left[(0,\ 1)+(0,\ 2)+\ldots \right]p-(0,\ 1)p'-(0,\ 2)p''-\ldots ,\\{\frac {dp}{dt}}&=-\left[(0,\ 1)+(0,\ 2)+\ldots \right]q+(0,\ 1)q'+(0,\ 2)q''+\ldots ,\\{\frac {dq'}{dt}}&=\ \ \left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+\ldots \right]p'-(1,\ 0)p-(1,\ 2)p''-\ldots ,\\{\frac {dp'}{dt}}&=-\left[(1,\ 0)+(1,\ 2)+\ldots \right]q'+(1,\ 0)q+(1,\ 2)q''+\ldots ,\\{\frac {dq''}{dt}}&=\ \ \left[(2,\ 0)+(2,\ 1)+\ldots \right]p''-(2,\ 0)p-(2,\ 1)p'-\ldots ,\\{\frac {dp''}{dt}}&=-\left[(2,\ 0)+(2,\ 1)+\ldots \right]q''+(2,\ 0)q+(2,\ 1)q'+\ldots ,\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$