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tuera dans l’expression précédente de $s,$ en effaçant les termes qui contiennent des arcs de cercle, et l’on aura

$s=q\sin(nt+\varepsilon )-p\cos(nt+\varepsilon )+m'\chi .$

54. L’équation ${\frac {dn}{dt}}=0,$ que nous venons de trouver, est d’une grande importance dans la théorie du Système du monde, en ce qu’elle nous montre que les moyens mouvements des corps célestes et les grands axes de leurs orbites sont inaltérables ; mais cette équation n’est approchée que jusqu’aux quantités de l’ordre $m'h$ inclusivement. Si les quantités de l’ordre $m'h^{2}$ et des ordres suivants produisaient dans ${\frac {dv}{dt}}$ un terme de la forme $2kt,\ k$ étant une fonction des éléments at des orbites de $m$ et de $m',$ il en résulterait dans l’expression de $v$ le terme $kt^{2},$ qui, en altérant la longitude de $m$ proportionnellement au carré du temps, deviendrait à la longue extrêmement sensible. On n’aurait plus alors ${\frac {dn}{dt}}=0\,;$ mais, au lieu de cette équation, on aurait, par le numéro précédent, ${\frac {dn}{dt}}=2k,;$ il est donc très-important de savoir s’il existe dans l’expression de $v$ des termes de la forme $kt^{2}.$ Nous allons démontrer que, si l’on n’a égard qu’à la première puissance des masses perturbatrices, quelque loin que l’on porte d’ailleurs les approximations relativement aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites, l’expression de $v$ ne renfermera point de termes semblables.

Reprenons pour cela la formule (X) du n^o 46,

$\delta r=$

${\frac {a\cos v\int ndtr.\sin v\left(2\int d{\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\right)-a\sin v\int ndtr.\cos v\left(2\int d{\rm {R}}+r{\frac {\partial {\rm {R}}}{\partial r}}\right)}{\mu {\sqrt {1-e^{2}}}}}$

Considérons la partie de $\delta r$ qui renferme des termes multipliés par $t^{2},$ ou, pour plus de généralité, considérons les termes qui, étant multipliés par le sinus ou par le cosinus d’un angle $\alpha t+$ϐ, dans lequel $\alpha$