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Si l’on combine cette différentielle avec l’intégrale elle-même, on formera les deux intégrales du premier ordre

${\begin{aligned}&c=ay\sin at+{\frac {dy}{dt}}\cos at,\\\\&c'=ay\cos at-{\frac {dy}{dt}}\sin at\,;\end{aligned}}$

ainsi l’on aura dans ce cas

$\mathrm {F} =\cos at,\qquad \mathrm {H} =-\sin at.$

L’intégrale complète de la proposée sera donc

$y={\frac {c}{a}}\sin at+{\frac {c'}{a}}\cos at-{\frac {\alpha \sin at}{a}}\int \mathrm {Q} dt\cos at+{\frac {\alpha \cos at}{a}}\int \mathrm {Q} dt\sin at.$

Il est facile d’en conclure que, si ${\rm {Q}}$ est composé de termes de la forme $\mathrm {K} .{\begin{aligned}\sin \\\cos \end{aligned}}(mt+\varepsilon ),$ chacun de ces termes produira dans la valeur de $y$ le terme correspondant

${\frac {\alpha \mathrm {K} }{m^{2}-a^{2}}}.{\begin{aligned}\sin \\\cos \end{aligned}}(mt+\varepsilon ).$

Si $m$ est égal à $a,$ le terme $\mathrm {K} .{\begin{aligned}\sin \\\cos \end{aligned}}(mt+\varepsilon )$ produira dans $y$ : 1^o le terme $-{\frac {\alpha \mathrm {K} }{4a^{2}}}.{\begin{aligned}\sin \\\cos \end{aligned}}(at+\varepsilon ),$ qui, étant compris dans les deux termes ${\frac {c}{a}}\sin at+$${\frac {c'}{a}}\cos at,$ peut être négligé ; 2^o le terme $\pm {\frac {\alpha \mathrm {K} }{2a}}.{\begin{aligned}\cos \\\sin \end{aligned}}(at+\varepsilon ),$ le signe $+$ ayant lieu si le terme de l’expression de ${\rm {Q}}$ est un sinus, et le signe $-$ ayant lieu si ce terme est un cosinus. On voit ainsi comment l’arc $t$ se produit hors des signes sinus et cosinus dans les valeurs de $y,y',\ldots ,$ par les intégrations successives, quoique les équations différentielles ne le renferment point sous cette forme. Il est clair que cela aura lieu toutes les fois que les fonctions ${\rm {FQ,F'Q',\ldots ,HQ,H'Q',\ldots }}$ renfermeront des termes constants.

42. Si les différences $dt(\mathrm {FQ} +\ldots ),dt(\mathrm {HQ} +\ldots ),\ldots$ ne sont pas exactes, l’analyse précédente ne donnera point leurs intégrales rigou-