Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/267

tuant, par exemple, dans l’équation (1), au lieu de ${\frac {1}{r^{3}}}-{\frac {1}{R^{3}}},$ sa valeur ${\frac {\mu '\rho }{\mathrm {R} }}$ donnée par l’équation (3), on aura

$\left({\frac {d\rho }{dt}}\right)=-{\frac {\rho }{2\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)}}\left[\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right)+\mu '\sin(\mathrm {A} -\alpha )\right].$

L’équation (4) est souvent susceptible de plusieurs racines réelles et positives : en faisant passer son second membre dans le premier et en la divisant ensuite par $\rho$, son dernier terme sera

$2\mathrm {R} ^{5}\left[\mu '\mathrm {R} ^{3}+3\cos(\mathrm {A} -\alpha )\right]\,;$

ainsi, l’équation en $\rho$ étant du septième degré ou d’un degré impair, elle aura au moins deux racines réelles positives, si $\mu '\mathrm {R} ^{3}+3\cos(\mathrm {A} -\alpha )$ est positif ; car elle doit toujours, par la nature du problème, avoir une racine positive, et elle ne peut alors avoir ses racines positives en nombre impair. Chaque valeur réelle et positive de $\rho$ donne une section conique différente pour l’orbite de la comète ; on aura donc autant de ces courbes qui satisfont à trois observations voisines que $\rho$ aura de valeurs réelles et positives, et, pour déterminer la véritable orbite de la comète, il faudra recourir à une nouvelle observation.

32. La valeur de $\rho ,$ tirée de l’équation (4), serait rigoureuse, si $\alpha ,\left({\frac {d\alpha }{dt}}\right),\left({\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\right),\theta ,\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)$ et $\left({\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}\right)$ étaient exactement connus ; mais ces quantités ne sont qu’approchées. À la vérité, on peut en approcher de plus en plus par la méthode exposée précédemment, en faisant usage d’un grand nombre d’observations, ce qui donne l’avantage de considérer d’assez grands intervalles et de compenser les unes par les autres les erreurs des observations. Mais cette méthode a l’inconvénient analytique d’employer plus de trois observations dans un problème où trois suffisent. On peut obviera cet inconvénient de la manière suivante, et rendre notre solution aussi approchée que l’on voudra, en ne considérant que trois observations.