Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 1.djvu/238

$v-{\text{ϐ}}=v_{1}-\theta +\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 2(v_{1}-\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 4(v_{1}-\theta )$

$+{\frac {1}{3}}\operatorname {tang} ^{6}{\frac {1}{2}}\varphi \sin 6(v_{1}-\theta )+\ldots$

On voit ainsi que les deux séries précédentes se changent réciproquement l’une dans l’autre, en changeant le signe de $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}^{\varphi }$ et en changeant l’un dans l’autre les angles $v_{1}-\theta$ et $v-{\text{ϐ}}.$ On aura $v_{1}-\theta$ en fonction de sinus et de cosinus de $nt$ et de ses multiples, en observant que l’on a, par ce qui précède,

$v=nt+\varepsilon +e\mathrm {Q} .$

${\rm {Q}}$ étant une fonction des sinus de l’angle $nt+\varepsilon -\varpi$ et de ses multiples, et que la formule (1) du n^o 21 donne, quel que soit $i,$

${\begin{aligned}\sin i(v-{\text{ϐ}})&=\sin i(nt+\varepsilon -{\text{ϐ}}+e\mathrm {Q} )\\\\&=\left(1-{\frac {i^{2}e^{2}\mathrm {Q} ^{2}}{1.2}}+{\frac {i^{4}e^{4}\mathrm {Q} ^{4}}{1.2.3.4}}-\ldots \right)\sin i(nt+\varepsilon -{\text{ϐ}})\\\\&+\left(ie\mathrm {Q} -{\frac {i^{3}e^{3}\mathrm {Q} ^{3}}{1.2.3}}+{\frac {i^{5}e^{5}\mathrm {Q} ^{5}}{1.2.3.4.5}}-\ldots \right)\cos i(nt+\varepsilon -{\text{ϐ}})\end{aligned}}$

Enfin, $s$ étant la tangente de la latitude de la planète au-dessus du plan fixe, on a

$s=\operatorname {tang} \varphi \sin(v_{1}-\theta ),$

et, si l’on nomme $r_{1}$ le rayon vecteur $r$ projeté sur le plan fixe, on aura

$r_{1}=r\left(1+s^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=r\left(1-{\frac {1}{2}}s^{2}+{\frac {3}{8}}s^{4}-\ldots \right)\,;$

on pourra donc ainsi déterminer $v_{1},s$ et $r_{1}$, en séries convergentes de sinus et de cosinus de l’angle $nt$ et de ses multiples.

23. Considérons présentement les orbites fort excentriques, telles que celles des comètes, et pour cela reprenons les équations du n^o 20

${\begin{aligned}r&={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos v}},\\\\nt&=u-e\sin u,\\\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v&={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}u.\end{aligned}}$