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MÉCANIQUE CÉLESTE.

les axes sont des axes principaux. C’est le cas de la sphère : nous verrons dans la suite que cette propriété convient à une infinité d’autres solides dont nous donnerons l’équation générale.

28. Les quantités $p,q,r,$ que nous avons introduites dans les équations (C) du n° 26, ont cela de remarquable, qu’elles déterminent la position de l’axe réel et instantané de rotation du corps, par rapport aux axes principaux. En effet, on a, relativement aux points situés dans l’axe de rotation,

$dx'=0,\;\;dy'=0,\;\;dz'=0.$

En différentiant les valeurs de $x',y',z'$ du n° 26, et en faisant $\sin \psi =0$ après les différentiations, ce qui est permis, puisque l’on peut fixer à volonté la position de l’axe des $x'$ sur le plan des $x'$ et des $y',$ on aura

${\begin{aligned}dx'=&x''\left(d\psi \cos \theta \sin \varphi \right)+y''\left(d\psi \cos \theta \cos \varphi -d\varphi \cos \varphi \right)+z''d\varphi \sin \theta =0,\\dy'=&x''\left(d\varphi \cos \theta \cos \varphi -d\theta \sin \theta \sin \varphi -d\psi \cos \varphi \right)\\&+y''\left(d\psi \sin \varphi -d\varphi \cos \theta \sin \varphi -d\theta \sin \theta \cos \varphi \right)+z''d\theta \cos \theta =0\,,\\dz'=&-x''\left(d\theta \cos \theta \sin \varphi +d\varphi \sin \theta \cos \varphi \right)\\&\qquad \qquad \qquad -y''\left(d\theta \cos \theta \cos \varphi -d\varphi \sin \theta \sin \varphi \right)-z''d\theta \sin \theta =0.\end{aligned}}$

Si l’on multiplie la première de ces équations par $-\sin \varphi ,$ la seconde par $\cos \theta \cos \varphi ,$ et la troisième par $-\sin \theta \cos \varphi ,$ on aura, en les ajoutant,

$0=px''-qz''.$

Si l’on multiplie la première des mêmes équations par $\cos \varphi ,$ la seconde par $\cos \theta \sin \varphi ,$ et la troisième par $-\sin \theta \sin \varphi ,$ on aura, en les ajoutant,

$0=py''-rz''.$

Enfin, si l’on multiplie la seconde des mêmes équations par $\sin \theta ,$ et la troisième par $\cos \theta ,$ on aura, en les ajoutant,

$0=qy''-rx''.$

Cette dernière équation résulte évidemment des deux précédentes ; ainsi les trois équations $dx'=0,\;dy'=0,\;dz''=0$ se réduisent à ces deux