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PREMIÈRE PARTIE. — LIVRE I.

en faisant donc $\theta$ égal à l’angle droit, ce qui rend l’axe des $z'$ perpendiculaire à celui des $z'',$ on aura ${\rm {C'=\mathrm {A} .}}$ Les moments d’inertie relatifs à tous les axes situés dans le plan perpendiculaire à l’axe des $z''$ sont donc alors égaux entre eux. Mais il est facile de s’assurer que l’on a dans ce cas, pour le système de l’axe des $z''$ et de deux axes quelconques perpendiculaires entre eux et à cet axe,

$\mathrm {S} \,x'y'dm=0,$     $\mathrm {S} \,x'z''dm=0,$     $\mathrm {S} \,y'z''dm=0\,;$

car, en désignant par $x''$ et $y''$ les coordonnées d’une molécule $dm$ du corps, rapportées aux deux axes principaux, pris dans le plan perpendiculaire à l’axe des $z'',$ et par rapport auxquels les moments d’inertie sont supposés égaux, nous aurons

$\mathrm {S} \,\left(x''^{2}+z''^{2}\right)dm=\mathrm {S} \,\left(y''^{2}+z''^{2}\right)dm,$

ou simplement

$\mathrm {S} \,x''^{2}\,dm=\mathrm {S} \,y''^{2}\,dm\,;$

mais, en nommant $\epsilon$ l’angle que l’axe des $x'$ fait avec l’axe des $x'',$ on a

${\begin{aligned}x'&=x''\cos \epsilon +y''\sin \epsilon ,\\y'&=y''\cos \epsilon -x''\sin \epsilon \,;\end{aligned}}$

on a donc

$\mathrm {S} \,x'y'dm=\mathrm {S} \,x''y''dm\cdot \left(\cos ^{2}\epsilon -\sin ^{2}\epsilon \right)+\mathrm {S} \,\left(y''^{2}-x''^{2}\right)dm\cdot \sin \epsilon \cos \epsilon =0.$

On trouvera semblablement

$\mathrm {S} \,x'z''dm=0,\qquad \mathrm {S} \,y'z''dm=0\,;$

tous les axes perpendiculaires à celui des $z''$ sont donc alors des axes principaux, et, dans ce cas, le solide a une infinité d’axes semblables.

Si l’on a à la fois ${\rm {\mathrm {A} =B=C,}}$ on aura généralement ${\rm {C'=\mathrm {A} ,}}$ c’est-à-dire que tous les moments d’inertie du solide sont égaux ; mais alors on a généralement

$\mathrm {S} \,x'y'dm=0,\qquad \mathrm {S} \,x'z'dm=0,\qquad \mathrm {S} \,y'z'dm=0,$

quelle que soit la position du plan des $x'$ et des $y',$ en sorte que tous