Les quantités et sont les carrés des cosinus des angles que font les axes des des et des avec l’axe des d’où il suit en général que, si l’on multiplie le moment d’inertie relatif à chaque axe principal de rotation par le carré du cosinus de l’angle qu’il fait avec un axe quelconque, la somme de ces trois produits sera le moment d’inertie du solide relativement à ce dernier axe.
La quantité est moindre que la plus grande des trois quantités elle est plus grande que la plus petite de ces trois quantités ; le plus grand et le plus petit moment d’inertie appartiennent donc aux axes principaux.
Soient les coordonnées du centre de gravité du solide, par rapport à l’origine des coordonnées, que nous fixons au point autour duquel le corps est assujetti à tourner, s’il n’est pas libre ; et seront les coordonnées de la molécule du corps, relativement à son centre de gravité ; le moment d’inertie, relatif à un axe parallèle à l’axe des et passant par le centre de gravité, sera donc
![{\displaystyle \mathrm {S} \left[(x'-\mathrm {X} )^{2}+(y'-\mathrm {Y} )^{2}\right]dm;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52f7d1c3eea4b276c7a032461355ffd1a3e5ab66)
or on a, par la nature du centre de gravité,
le moment précédent se réduit donc à
On aura ainsi les moments d’inertie du solide, relativement aux axes qui passent par un point quelconque, lorsque ces moments seront connus par rapport aux axes qui passent par le centre de gravité. On voit en même temps que le plus petit de tous les moments d’inertie a lieu par rapport à l’un des trois axes principaux qui passent par ce centre.
Supposons que, par la nature du corps, les deux moments d’inertie et soient égaux ; on aura
