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MÉCANIQUE CÉLESTE.

En égalant à zéro les seconds membres de ces deux équations, on aura

${\begin{aligned}&\operatorname {tang} \theta ={\frac {h\sin \psi -g\cos \psi }{\left(a^{2}-b^{2}\right)\sin \psi \cos \psi +f\left({\cos }^{2}\psi -{\sin }^{2}\psi \right)}},\\\\&{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tang} 2\theta ={\frac {g\sin \psi +h\cos \psi }{c^{2}-a^{2}{\sin }^{2}\psi -b^{2}{\cos }^{2}\psi -2f\sin \psi \cos \psi }}\,;\end{aligned}}$

mais on a

${\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tang} \,2\,\theta ={\frac {\operatorname {tang} \,\theta }{1-\operatorname {tang} ^{2}\,\theta }}\,;$

en égalant ces deux valeurs de ${\tfrac {1}{2}}\,\operatorname {tang} \,2\,\theta ,$ et en substituant dans la dernière, au lieu de $\operatorname {tang} \,\theta ,$ sa valeur précédente en $\psi \,;$ en faisant ensuite, pour abréger, $\operatorname {tang} \,\psi =u,$ on trouvera, après toutes les réductions, l’équation suivante du troisième degré

$0=\left(gu+h\right)\left(hu-g\right)^{2}+\left[\left(a^{2}-b^{2}\right)u+f\left(1-u^{2}\right)\right]$

$\left[\left(hc^{2}-ha^{2}+fg\right)u+gb^{2}-gc^{2}-hf\right].$

Cette équation ayant au moins une racine réelle, on voit qu’il est toujours possible de rendre nulles à la fois les deux quantités

${\begin{aligned}\cos \varphi \cdot \mathrm {S} x''z''dm-\sin \varphi \cdot \mathrm {S} y''z''dm,\\\sin \varphi \cdot \mathrm {S} x''z''dm+\cos \varphi \cdot \mathrm {S} y''z''dm,\end{aligned}}$

et par conséquent la somme de leurs carrés $\left(\mathrm {S} \,x''\,z''\,dm\right)^{2}+\left(\mathrm {S} \,y''\,z''\,dm\right),$ ce qui exige que l’on ait séparément

$\mathrm {S} \,x''\,z''\,dm=0,\,\,\,\mathrm {S} \,y''\,z''\,dm=0.$

La valeur de $u$ donne celle de l’angle $\psi ,$ et par conséquent celle de $\operatorname {tang} \,\theta$ et de l’angle $\theta .$ Il reste maintenant à déterminer l’angle $\varphi ,$ ce que l’on fera au moyen de la condition $\mathrm {S} \,x''\,y''\,dm=0,$ qui reste à remplir. Pour cela, nous observerons que, si l’on substitue dans $\mathrm {S} \,x''\,y''\,dm,$ au lieu de $x'',$ $y'',$ leurs valeurs précédentes, cette fonction deviendra de cette forme

$\mathrm {H} \,\sin \,2\,\varphi +\mathrm {L} \,\cos \,2\,\varphi ,$

$\mathrm {H}$ et $\mathrm {L}$ étant fonctions des angles $\theta$ et $\psi$ et des constantes $a^{2},$ $b^{2},$ $c^{2},$ $f,$