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MÉCANIQUE CÉLESTE.

toujours la même en temps égal ; mais cette constance des aires décrites n’a point lieu dans d’autres lois.

Si l’on différentie par rapport à la caractéristique $\delta$ la fonction $\sum \int m\varphi \left(v\right)ds,$ on aura

$\delta \sum \int m\varphi \left(v\right)ds=\sum \int m\varphi \left(v\right)\delta ds+\sum \int m\delta v\varphi '\left(v\right)ds;$

mais on a

$\delta ds={\frac {dx\delta dx+dy\delta dy+dz\delta dz}{ds}}={\frac {1}{v}}\left({\frac {dx}{dt}}d\delta x+{\frac {dy}{dt}}d\delta y+{\frac {dz}{dt}}d\delta z\right);$

on aura donc, en intégrant par parties,

${\begin{aligned}&\delta \sum \int m\varphi \left(v\right)ds=\sum {\frac {m\varphi \left(v\right)}{v}}\left({\frac {dx}{dt}}\delta x+{\frac {dy}{dt}}\delta y+{\frac {dz}{dt}}\delta z\right)\\\\&\ \ -\sum \int m\left[\delta xd\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)+\delta yd\left({\frac {dy}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)+\delta zd\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {\varphi \left(v\right)}{v}}\right)\right]\\\\&\ \ +\sum \int m\delta v\varphi '\left(v\right)ds.\end{aligned}}$

Les points extrêmes des courbes décrites par les corps du système étant supposés fixes, le terme hors du signe $\int$ disparaît dans cette équation ; on aura donc, en vertu de l’équation (S),

$\delta \sum \int m\varphi \left(v\right)ds=$

$\sum \int m\delta v\varphi '\left(v\right)ds-\sum \int mdt\left(\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\right).$

Mais l’équation (T), différentiée par rapport à $\delta ,$, donne

$\sum \int m\delta v\varphi '\left(v\right)ds=\sum \int mdt\left(\mathrm {P} \delta x+\mathrm {Q} \delta y+\mathrm {R} \delta z\right);$

on a donc

$0=\delta \sum \int m\varphi \left(v\right)ds.$

Cette équation répond au principe de la moindre action dans la loi de la nature. $m\,\varphi \left(v\right)$ est la force entière du corps $m\,;$ ainsi ce principe revient à ce que la somme des intégrales des forces finies des corps du système, multipliées respectivement par les éléments de leurs directions, est un minimum : présenté de cette manière, il convient à toutes les lois mathématiquement possibles entre la force et la vitesse. Dans